Flujo de inyección masiva ⇐ Proyectos de artículos

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''Flujo de inyección de masa''' se refiere al flujo adiabático (proceso adiabático no viscoso) a través de un conducto de área constante donde se considera el efecto de la adición de masa. Para este modelo, el área del conducto permanece constante, se supone que el flujo es estacionario y unidimensional, y se agrega masa dentro del conducto. Debido a que el flujo es adiabático, a diferencia del flujo de Rayleigh, la temperatura de estancamiento es una constante. Flujo compresible|A menudo se tienen en cuenta los efectos de la compresibilidad, aunque este modelo de flujo también se aplica al flujo incompresible.

Para el flujo supersónico (un número de Mach ascendente mayor que 1), la desaceleración ocurre con la adición de masa al conducto y el flujo puede quedar estrangulado (Flujo obstruido). Por el contrario, para el flujo subsónico (Velocidad del sonido) (un número de Mach aguas arriba menor que 1), se produce aceleración y el flujo puede obstruirse dada una adición de masa suficiente. Por lo tanto, la adición de masa hará que los números de Mach tanto supersónicos como subsónicos se acerquen a Mach 1, lo que provocará un flujo obstruido.

==Teoría==
El modelo de flujo de inyección de masa 1D comienza con una relación masa-velocidad derivada para la inyección de masa en un flujo de área constante, adiabático, sin fricción y constante de gas perfecto|gas calóricamente perfecto:

\ \frac{dm}{m}=-\frac{du}{u}\left(M^2-1\right)

donde m representa un flujo de masa, m=\dot{m}/A. Esta expresión describe cómo cambiará la velocidad con un cambio en el flujo de masa (es decir, cómo un cambio en el flujo de masa dm impulsa un cambio en la velocidad du). De esta relación se ven dos modos distintos de comportamiento:

# Cuando el flujo es '''subsónico''' (M1) la cantidad [M^2 - 1] es positiva, por lo que el lado derecho de la la ecuación se vuelve negativa. Esto indica que el aumento del flujo de masa '''disminuirá''' la velocidad del flujo supersónico hacia Mach 1.

A partir de la relación masa-velocidad, se puede derivar una relación masa-Mach explícita:

\frac{dm}{m} = \frac{1-M^2}{M+\frac{1}{2}M^3(\gamma - 1)}dM

==Derivaciones==
Aunque el flujo de Fanno y el flujo de Rayleigh se tratan en detalle en muchos libros de texto, el flujo de inyección masiva no.
===Relación masa-velocidad===

Comenzamos estableciendo una relación entre la entalpía diferencial, la presión y la densidad de un gas caloríficamente perfecto:

\begin{align}
h &= c_p T\\
h &= c_p \left(\frac{pv}{R} \right)\\
dh &= \frac{c_p}{R} d(pdv+vdp)\\
\frac{dh}{h} &= \left(\frac{\cancel{R{\cancel{c_p} pv}\right) \cancel{\frac{c_p}{R (pdv+vdp)\\
\frac{dh}{h} &= \frac{dp}{p}+\frac{dv}{v}\\
\frac{dh}{h} &= \frac{dp}{p}-\frac{d\rho}{\rho}\\
\end{align}
|
De la ecuación de energía adiabática|Entalpía de estancamiento (dh_0=0) encontramos:

\begin{align}
h+\frac{u^2}{2} &= h_0\\
dh+\frac{1}{2}d(uu) &= \cancel{dh_0}\\
dh+\frac{1}{2}(udu+udu) &= 0\\
dh+udu &= 0\\
\frac{dh}{h}+\frac{udu}{h} &= 0
\end{align}
|
Sustituyendo la relación entalpía-presión-densidad (
\begin{align}
\frac{dp}{p} - \frac{d\rho}{\rho} + \frac{udu}{h} &= 0
\end{align}
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A continuación, encontramos una relación entre la densidad diferencial, el flujo de masa (m=\dot{m}/A) y la velocidad:

\begin{align}
\dot{m} &= \rho u A\\
m &= \rho u\\
\rho &= \frac{m}{u}\\
d\rho &= \frac{udm-mdu}{u^2}\\
\frac{d\rho}{\rho} &= \frac{dm}{m} - \frac{du}{u}
\end{align}
|
Sustituyendo la relación densidad-masa-velocidad (
\begin{align}
\frac{dp}{p} - \frac{dm}{m} + \frac{du}{u} + \frac{udu}{h} &= 0
\end{align}
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Sustituyendo la ecuación de conservación del momento de flujo estacionario 1D (ver también las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)|Ecuaciones de Euler) de la forma dp=-\rho udu
\begin{align}
0 &= \frac{-\rho udu}{p} - \frac{dm}{m} + \frac{du}{u} + \frac{udu}{h}\\
\frac{dm}{m} &= \frac{-\rho udu}{p} + \frac{du}{u} + \frac{udu}{h}\\
&= \frac{du}{u}\left(\frac{-\rho u^2}{p} + \frac{u^2}{h} + 1\right)\\
\frac{dm}{m} &= \frac{du}{u}\left[\left(\frac{1}{h}-\frac{\rho}{p}\right) u^2 +1 \derecho]
\end{align}
|
De la ley de los gases ideales encontramos,

y de la definición de gas calóricamente perfecto encontramos,

Sustituyendo expresiones (
\begin{align}
\frac{dm}{m} &= \frac{du}{u}\left[\left(\frac{\gamma -1}{\gamma RT}-\frac{1}{RT}\right) u ^2 +1\derecha]\\
\frac{dm}{m} &= \frac{du}{u}\left[\left(\frac{-1}{\gamma RT}\right) u^2 +1 \right]
\end{align}
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Usando la Velocidad del sonido#Detalles|velocidad del sonido en un gas ideal (a^2=\gamma RT) y la definición del número de Mach (M = u / a) produce

\begin{align}
\frac{dm}{m} &= \frac{du}{u}\left[\left(\frac{-u^2}{a^2}\right) +1 \right]
\end{align}
|

Ésta es la relación masa-velocidad para la inyección de masa en un flujo constante, adiabático, sin fricción y de área constante de gas calóricamente perfecto.

===Relación masa-mach===

Para encontrar una relación entre la masa diferencial y el número de Mach, encontraremos una expresión para du/u únicamente en términos del número de Mach, M. Luego podemos sustituir esta expresión en la relación masa-velocidad para obtener una relación masa-Mach. Comenzamos relacionando la velocidad diferencial, el número de Mach y la velocidad del sonido:

\begin{align}
u &= Ma\\
du &= a dM + Mda
\end{align}
|
Ahora podemos reexpresar da en términos de dT:

\begin{align}
a &= (\gamma RT)^{1/2}\\
da &= \frac{1}{2}(\gamma RT)^{-1/2}\cdot \gamma R dT\\
da &= \frac{\gamma R}{2 a} dT
\end{align}
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Sustituyendo (
\begin{align}
du &= a dM + M\frac{\gamma R}{2 a} dT\\
\frac{du}{u} &= \frac{dM}{M} + \frac{\gamma R}{2 a^2} dT\\
&= \frac{dM}{M} + \frac{\cancel{\gamma R{2 \cancel{\gamma R} T} dT\\
\frac{du}{u} &= \frac{dM}{M} + \frac{1}{2} \frac{dT}{T}
\end{align}
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Ahora podemos reexpresar dT en términos de du:

\begin{align}
h_0 &= c_p T + \frac{1}{2} u^2\\
\cancelar{dh_0} &= c_p dT + udu = 0\\
dT &= -udu \left( \frac{1}{c_p} \right)\\
\frac{dT}{T} &= \frac{-udu}{T} \left( \frac{\gamma - 1}{\gamma R} \right)\\
&= \frac{-udu}{a^2} (\gamma - 1)\\
&= \frac{-udu M^2}{u^2}(\gamma - 1)\\
\frac{dT}{T} &= -M^2(\gamma - 1)\frac{du}{u}
\end{align}
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Sustituyendo (
\begin{align}
\frac{du}{u} &= \frac{dM}{M} - \frac{M^2 (\gamma - 1)}{2} \frac{du}{u}\\
\frac{dM}{M} &= \frac{du}{u} \left( 1 + \frac{M^2 (\gamma - 1)}{2} \right) \\
\frac{du}{u} &= \frac{dM}{M} \left( 1+\frac{M^2 (\gamma - 1)}{2} \right) ^{-1}
\end{align}
|
Finalmente, la expresión (
\begin{align}
\frac{dm}{m} &= - \left[ \frac{dM}{M} \left( 1+\frac{M^2 (\gamma - 1)}{2} \right) ^{-1 } \right] \cdot [M^2 -1]
\end{align}
|

Esta es la relación masa-Mach para la inyección de masa en un flujo constante, adiabático, sin fricción y de área constante de gas calóricamente perfecto.

== Otro ==

More details: https://en.wikipedia.org/wiki/Mass_injection_flow