Finger obtuvo el segundo puesto con el doble scull alemán en el Campeonato Mundial Junior de Remo 2015 Campeonato Mundial Junior 2015, Campeonato Mundial Junior de Remo 2016 | Tras un octavo puesto en doble scull en el Campeonato Mundial de Remo Sub-23 2017 />
No fue hasta 2023 que Finger participó por primera vez en campeonatos internacionales de adultos. Anton Finger, Moritz Wolff (Moritz Wolff (remero), Max Appel y Tim Ole Naske terminaron octavos en los dobles scull en el Campeonato Europeo (Campeonato europeo de remo 2023) en Bled. En el Campeonato Mundial de Remo de 2023 en Belgrado, los dobles scull alemanes con el mismo equipo alcanzaron el sexto lugar y, por lo tanto, se clasificaron para los Juegos Olímpicos de 2024. En el año olímpico, los dobles scull alemanes compitieron en las tres regatas de la Copa del Mundo de remo en tres diferentes alineaciones, con solo dedos y Appel siempre estuvo ahí. El 26 de junio de 2024, Appel, Finger, Naske, Julius Rommelmann y Wolff fueron nominados para los Juegos Olímpicos, aunque sólo más tarde se anunció quién actuaría como sustituto.[https://www.rudern.de /noticias /dosb-nominiert-101-weitere-athletinnen-fuer-team-d-bei-den-olympischen-spiele-paris-2024 Nominaciones] en www.rudern.de
El hermano menor de Anton Finger, Alexander Finger, también compitió en la Copa del Mundo de 2024.
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