Embalaje circular hexagonal ⇐ Proyectos de artículos

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El '''hexágono|empaquetado de círculo hexagonal''' del plano lo llena con círculos que no se superponen, todos los cuales tocan exactamente seis círculos.

La ''espiral de Doyle'' es una cadena de círculos tangentes cuyos centros, como los de los círculos sombreados en la imagen de arriba, se encuentran en espirales logarítmicas y cuyos radios forman una secuencia geométrica.




Los empaquetamientos circulares hexagonales son únicos hasta la similitud (geometría)|similitud por dos parámetros p y q
== Historia ==
El dibujo que se muestra en la primera imagen de arriba reproduce una observación realizada en 1910 en Chrysanthemum leucanthemum | Poor Meadow Daisy. Peter Doyle pudo haber sido el primero en construir empaquetaduras circulares hexagonales.> László Fejes Tóth hizo la conjetura en 1977 de que en los empaquetamientos de círculos hexagonales la relación entre el radio del círculo más pequeño y el más grande es uno (en el empaquetamiento uniforme de la imagen) o cero en caso contrario. Esta conjetura se hizo en 1977. 1983 por Imre Bárány, Zoltán Füredi y János Pach. La determinación, única hasta la similitud, mediante dos parámetros enteros, de la ubicación de los Los círculos y sus radios, así como su relación con la función exponencial, fueron demostrados en 1994 por Alan Beardon|Beardon, Dubejko y Stephenson.>

== Definiciones ==
El artículo de Beardon, Dubejko y Stephenson define los siguientes términos, que también se utilizan en este artículo: * Un grupo de siete círculos, seis de los cuales rodean un séptimo círculo interior, se llama ''flor'' ( * Un embalaje de círculo hexagonal es un conjunto de círculos,
** en el que cada círculo es el centro de una flor,
** en el que con hojas consecutivas B1, B2 y B3 alrededor del centro C también B3, C, B1 son hojas con centro B2, y
** en el que dos círculos cualesquiera pueden conectarse mediante una cadena finita de círculos en la que cada círculo es una hoja de su predecesor.
* Un paquete de círculos de círculos idénticos o que no se superponen es "coherente" ( * Un grupo de tres círculos que se tocan entre sí en pares y no penetran es una ''célula'' (correspondiente a una celda unitaria en cristalografía).
* Una célula o una flor es un generador ( * En el embalaje circular uniforme ( En este artículo, el empaquetamiento circular uniforme solo se menciona en el borde y se supone un empaquetamiento circular desigual con radios de diferentes tamaños.

En todo momento se utiliza el plano de números complejos con la unidad imaginaria {\rm i}^2=-1, en el que cada punto X está representado por un número complejo z=x+i y , x,y∈ Se representa el número real|ℝ.

== Cálculo del pack ==
Un empaquetamiento circular hexagonal se describe mediante dos parámetros p,q∈Número natural|ℕ, que satisfacen las desigualdades
:0 < p ≤ q ≤ 2p, q > 2

y determine la cantidad de espirales Doyle en el paquete de círculos. Luego hay un círculo hexagonal empaquetado con dos números complejos α y β, de modo que los centros de los círculos están en los puntos>

: z = αj · βk = αj+k · γk para j, k ∈ ℤ , γ := β/α

poner. Las espirales de Doyle pertenecen a la constante k (roja en las imágenes), la constante j (azul) y la constante (j+k) (amarillo-verde). Los números complejos α y β se determinan a partir de las condiciones
:\frac{|\alpha-1|}{1+|\alpha|}
=\frac{|\beta-1|}{1+|\beta|}
=\frac{|\gamma-1|}{1+|\gamma|}
=\frac{|\alpha\gamma-1|}{1+|\alpha\gamma|},\;|\alpha|>1


y
: p·Logaritmo complejo|log(α) − q·log(β) = Unidad imaginaria|i·2·número de círculo|π·n para un n ∈ entero|ℤ.

Las soluciones α y β de estas ecuaciones son números algebraicos.
:r=|z|\frac{|\alpha-1|}{1+|\alpha|}

En estos empaquetamientos circulares en ''forma normal|normalizado'', el radio de un círculo es proporcional a la distancia del centro del círculo desde el origen, un círculo tiene el centro en z=1 y las espirales de Doyle convergen hacia el origen en z = a medida que j y k se vuelven más pequeños 0, ver imagen. Los centros de las hojas se encuentran en un ''óvalo cartesiano'', que es una línea nivelada de la función
:k(z)=\frac{|z-1|}{|z|+1}

es. Otros empaquetamientos circulares hexagonales similares (de similitud (geometría)) surgen mediante estiramiento, desplazamiento y/o rotación céntricos.

La tabla contiene casos especiales en los que se conocen soluciones analíticas de las ecuaciones anteriores.
\tau=&-(1+\sqrt{\Phi_1})+{\rm i}\,(1+\sqrt{\Phi_2}),\;
\Phi_{1,2}=\frac{\sqrt5\mp 1}2
\\
\alpha=&\tau^3,\;\beta=\tau^2
\end{align}
w =& \tan\left(\frac\pi p\right)^2 + \frac1{\cos\left(\frac\pi p\right)}
\\
\alpha=&(w+\sqrt{w^2-1})\exp\left({\rm i}\frac\pi p\right), \beta=\overline{\alpha}
\end{align}
c=&\cos\left(\frac\pi p\right)
\\
w=&\sqrt{\frac{\sqrt{5+4c}-2c-1}2},\;b=\frac{1+w}{c+w^2}
\\
\alfa =&b^2,\; \beta=b\exp\left({\rm i}\frac\pi p\right)
\end{align}

== Características de las flores ==
Peter Doyle descubrió
Para tres hojas consecutivas con centros B, C y D y radios rB, rC o rD alrededor del centro A con radio r se aplica :
: r·rC = rB·rD

Las hojas consecutivas están numeradas del cero al cinco. Entonces los radios se encuentran
:r2 = rj·rj+3, r3 = rj·rj+2·rj+4

Aquí, como en lo siguiente, si los índices están fuera del rango de cero a cinco, el resto se tomará dividiendo por seis. Por ejemplo, si j+3=7, entonces rj+3=r1 debe insertarse arriba.

Para cada hoja hay un círculo que
* a través de los dos puntos de contacto con sus hojas vecinas y
* a través de los dos puntos de contacto entre sus hojas vecinas y el círculo central
dirige. Todos estos círculos de una flor también se cruzan en un punto.
Si cada hoja k tiene el punto de contacto zk con el centro así como los puntos de contacto wk con su sucesor y wk−1 con su predecesor, entonces este se convierte en la cifra clave

:s_k=q(z_k, z_{k-1}, w_{k-1}, w_k),\quad
q(a,b,c,d):=\frac{(a-b)\,(c-d)}{(b-c)\,(d-a)}


atados juntos. Entonces para k=0,…,5:
:\begin{align}
s_k=&-q(z_{k+1},z_{k-1},w_{k-1},z_k)=q(z_k,w_k,z_{k+1},z_{k-1})
\\
s_k^2=&q(z_{k+1},z_{k-1},w_{k-1},w_k)
\\
0=&s_k+s_{k+2}+s_{k+4}+s_ks_{k+1}s_{k+2}
\end{align}

== Propiedades de las espirales ==

En asignaciones lineales ABCD de cuadriláteros de la forma f(z)=mf·z+nf y g(z)=mg· z+ng definido de modo que
: f(zA)=zB, f(zD)=zC, g(z A)=zD, g(zB)=zC

Estas asignaciones crean un grupo G (grupo (matemáticas)), cuyos elementos están vinculados entre sí por estas asignaciones. Los centros de los círculos del relleno del círculo hexagonal son los elementos de este grupo. Las ilustraciones tienen el mismo punto fijo (matemáticas)|punto fijo

:\mathsf{\zeta:=f(\zeta)=g(\zeta)}
=\frac{z_A\,z_C-z_B\,z_D}{z_A+z_C-z_B-z_D}


que es el origen de las espirales de Doyle, que, sin embargo, nunca llegan a él: El punto fijo no es un elemento del grupo G. Normalización de los círculos y radios de la flor utilizando

:z_j\mapsto\frac{z_j-\zeta}{z_A-\zeta},\;r_j\mapsto\frac{r_j}{|z_A-\zeta|}


: zA=1, zB=α, zC=αγ=β, zD=γ =β/α, zE=1/α, zF=1/(αγ)=1/β y zG=1 /γ=α/β.

: A=1, B=α, C=β, D=β/α, |B−A|=ar+r, |C−A|=br+r, |D−A|=gr+r

De esto se sigue:

: |B−A|=|α−1|=r(1+|α|), |C−A|=|αγ−1|=r(1+|αγ|), |D−A|=| γ−1|=r(1+|γ|)

y por lo tanto

:{\mathsf r}=\frac{|\alpha-1|}{1+|\alpha|}
=\frac{|\beta-1|}{1+|\beta|}
=\frac{|\alpha\gamma-1|}{1+|\alpha\gamma|}
=\frac{|\gamma-1|}{1+|\gamma|}


Los centros z de los círculos del empaque tienen la forma z=αj·βk con j,k∈ℤ.
: α−p·βq = 1 = exp(i·2·π·n)

sigue. El logaritmo complejo|logaritmo complejo log como función inversa de la función exponencial exp finalmente entrega

: q log(β) − p log(α) = i 2 π n

Esto explica las ecuaciones determinantes al #calcular el embalaje.>

== Literatura ==


ver

o











L. Fejes Tôth, Problema de investigación, Periodica Math. 8 (1977), 103-10, citado de Bárány, Füredi, Pach: ''Funciones convexas discretas y prueba de la conjetura de los seis círculos de L. Fejes Toth'' (1983)





En Beardon, Dubejko, Stephenson (1994), p. 46 y siguientes, β corresponde aquí a γ.









Categoría:Geometría plana

More details: https://de.wikipedia.org/wiki/Hexagonale_Kreispackung