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En geometría diferencial afín, una ''superficie máxima afín'' es una superficie lisa, localmente fuertemente convexa, cuya curvatura media afín desaparece de manera idéntica. La noción surgió en el trabajo de Eugenio Calabi sobre hipersuperficies críticas para el área afín funcional, donde se demostró que dichas superficies maximizan localmente el área afín entre variaciones con volumen cerrado fijo. Gran parte de la teoría posterior se formula en términos de ecuaciones elípticas no lineales del tipo Monge-Ampère (Ecuación de Monge-Ampère) y ha sido desarrollada por Neil S. Trudinger, Xu-Jia Wang y otros.
== Definición ==
Sea (M,\nabla,h) una variedad equiafín (por ejemplo, \mathbb A^{3} con su conexión plana estándar y forma de volumen), y sea N\subset M una superficie sumergida lisa y orientada. Con respecto a la estructura equiafina, hay un campo vectorial transversal distinguido, la normal de Blaschke, y una métrica afín inducida g y un operador de forma S en N. La curvatura media afín se define por
H_{\mathrm{aff = \tfrac{1}{2}\operatorname{tr}_g S.
La superficie N se llama '''superficie máxima afín''' si
H_{\mathrm{aff \equiv 0.
De manera equivalente, N es un punto crítico del área afín funcional
A(N) = \int_N \mathrm{d}\mu_{\mathrm{aff,
donde \mathrm{d}\mu_{\mathrm{aff es la medida del área afín inducida por la métrica de Blaschke, y dichas superficies maximizan localmente el área afín entre las variaciones que preservan el volumen cerrado. Históricamente, dichas superficies se llamaban "superficies mínimas afines" hasta que Calabi observó esta propiedad de maximalidad.
Las superficies máximas afines se generalizan a dimensiones superiores: una hipersuperficie localmente fuertemente convexa de dimensión n en una variedad (n+1) equiafín se denomina '''hipersuperficie máxima afín'' si su curvatura media afín desaparece de manera idéntica.
== Ejemplos ==
En el estándar de tres espacios equiáfines \mathbb A^{3}\cong\mathbb R^{3}, cualquier superficie localmente fuertemente convexa se puede expresar localmente como la gráfica de una función suave u\colon\Omega\subset\mathbb R^{2}\to\mathbb R con hessiano definido positivo.
* '''Ejemplos cuadráticos.''' La gráfica de cualquier polinomio cuadrático
u(x) = \tfrac{1}{2} x^{\mathsf T} Q x + \ell(x) + c,\qquad Q \text{ definida positiva},
es una esfera afín impropia, por lo tanto tiene una curvatura media afín que desaparece y es una superficie máxima afín.
* '''Teoremas del paraboloide elíptico y del tipo Bernstein'''. S. S. Chern propuso el problema afín de Bernstein, preguntando si cada superficie máxima afín euclidiana completa, localmente fuertemente convexa en \mathbb R^{3} debe ser un paraboloide elíptico. Trudinger y Wang demostraron que una superficie máxima afín euclidiana completa, localmente uniformemente convexa en \mathbb R^{3} es un paraboloide elíptico. Junto con su solución del problema de completitud para métricas afines, esto implica que cualquier superficie afín completa, localmente uniformemente convexa La superficie máxima afín en \mathbb R^{3} es un paraboloide elíptico.
* '''Superficies con singularidades.''' Motivado por la rigidez de los ejemplos completos, se ha desarrollado un programa para estudiar superficies máximas afines con singularidades aisladas y un comportamiento de ramificación más general. Aledo, Martínez y Milán ofrecen un tratamiento sistemático de superficies máximas afines sumergidas con conjuntos singulares admisibles y sus propiedades globales.
== Caracterizaciones ==
Las superficies máximas afines admiten varias descripciones equivalentes. En coordenadas locales adaptadas a un gráfico fuertemente convexo, la condición máxima afín es la ecuación de Euler-Lagrange para el área afín funcional, y puede expresarse como una ecuación elíptica completamente no lineal de cuarto orden de tipo Monge-Ampère. La teoría analítica asociada vincula superficies máximas afines con problemas de regularidad y valores límite para la ecuación de Monge-Ampère y su linealización.
=== Ecuación de Monge-Ampère ===
Sea u\colon\Omega\subset\mathbb R^{n}\to\mathbb R una función suave, localmente uniformemente convexa, y considere su gráfica en \mathbb R^{n+1}. Escribe D^{2}u=(u_{ij}) para el hessiano de u y U^{ij} para la matriz cofactor de D^{2}u, de modo que U^{ij} sea definido positivo cuando D^{2}u sea definido positivo. El área afín funcional es
A = \int_{\Omega} (\det D^{2}u)^{1/(n+2)}\,\mathrm{d}x.
La ecuación de Euler-Lagrange para este funcional es la '''ecuación de superficie máxima afín'''
U^{ij} w_{ij} = 0,\qquad w = (\det D^{2}u)^{-(n+1)/(n+2)},
que es elíptica siempre que u es convexa. Esta ecuación puede considerarse como una ecuación linealizada de Monge-Ampère que actúa sobre la función w y es invariante afín.
Las hipersuperficies máximas afines surgen como maximizadores locales de la A funcional y, a la inversa, cualquier solución convexa suficientemente regular de la ecuación de superficie máxima afín define una hipersuperficie máxima afín. La regularidad y el comportamiento de las fronteras de las soluciones se estudian utilizando la teoría general de la ecuación de Monge-Ampère y su linealización.
More details: https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_maximal_surface