'''Teoría de Kármán-Moore''' es una teoría linealizada para flujos supersónicos sobre un cuerpo delgado, que lleva el nombre de Theodore von Kármán y Norton B. Moore, quienes desarrollaron la teoría en 1932.Von Karman, T ., y Moore, NB (1932). Resistencia de cuerpos esbeltos que se mueven a velocidades supersónicas, con especial referencia a los proyectiles. Transacciones de la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos, 54(2), 303-310.Ward, G. N. (1949). Flujo supersónico pasando por cuerpos delgados y puntiagudos. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2(1), 75-97. La teoría en particular proporciona una fórmula explícita para el arrastre de ondas, que convierte la energía cinética del cuerpo en movimiento en ondas sonoras salientes detrás. el cuerpo.
==Descripción matemática==
Considere un cuerpo delgado con bordes puntiagudos en la parte delantera y trasera. El flujo supersónico que pasará por este cuerpo será casi paralelo al eje x en todas partes, ya que las ondas de choque formadas (una en el borde de ataque y otra en el borde de salida) serán débiles; como consecuencia, el flujo será potencial en todas partes, lo que se puede describir usando el potencial de velocidad \phi' = xv_1 + \phi, donde v_1 es la velocidad uniforme entrante y \phi que caracteriza la pequeña desviación del flujo uniforme. En la teoría linealizada, \phi satisface
donde \beta^2=(v_1^2-c_1^2)/c_1^2=M_1^2-1, c_1 es la velocidad del sonido en el flujo entrante y M_1 es el número de Mach del flujo entrante. Esta es solo la ecuación de onda bidimensional y \phi es una perturbación propagada con un tiempo aparente x/v_1 y con una velocidad aparente v_1/\beta< /matemáticas>.
Sea el origen (x,y,z)=(0,0,0) ubicado en el extremo anterior del cuerpo puntiagudo. Además, sea S(x) el área de la sección transversal (perpendicular al eje x) y l sea la longitud de la línea delgada cuerpo, de modo que S(x)=0 para x1. Por supuesto, en flujos supersónicos, las perturbaciones (es decir, \phi) pueden propagarse sólo en la región detrás del cono de Mach (onda de Mach). El cono de Mach débil para el borde de ataque viene dado por x-\beta r=0, mientras que el cono de Mach débil para el borde de salida viene dado por x-\beta r = l< /math>, donde r^2=y^2+z^2 es la distancia radial al cuadrado desde el eje x.
La perturbación lejos del cuerpo es como la propagación de una onda cilíndrica. Frente al cono x-\beta r=0, la solución simplemente viene dada por \phi=0. Entre los conos x-\beta r = 0 y x-\beta r = l, la solución viene dada porLandau, L. D., y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, Volumen 6 (Vol. 6). Elsevier. artículo 123. páginas 123-124
La solución descrita anteriormente es exacta para todo r el cuerpo esbelto es un sólido o revolución. Si este no es el caso, la solución válida a grandes distancias tendrá una corrección asociada a la distorsión no lineal del perfil de choque, cuya fuerza es proporcional a (M_1-1)^{1/8}r^ {-3/4} y un factor que depende de la función de forma S(x).Whitham, G. B. (2011). Ondas lineales y no lineales. John Wiley e hijos. páginas 335-336.
La fuerza de arrastre F es solo el componente x del impulso por tiempo. Para calcular esto, considere una superficie cilíndrica con un radio grande y con un eje a lo largo del eje x. La densidad de flujo de impulso que atraviesa esta superficie está dada simplemente por \Pi_{xr}=\rho v_r (v_1+v_x)\approx \rho_1 (\partial\phi/\partial r)(v_1+\partial\phi/ \parcial x). La integración de \Pi_{xr} sobre la superficie cilíndrica da la fuerza de arrastre. Debido a la simetría, el primer término en \Pi_{xr} tras la integración da cero ya que el flujo de masa neto \rho v_r es cero en la superficie cilíndrica considerada. El segundo término da la contribución distinta de cero,
A grandes distancias, los valores x-\xi \sim \beta r (la región de la onda) son los más importantes en la solución para \phi; esto se debe a que, como se mencionó anteriormente, \phi es una perturbación similar que se propaga con una velocidad v_1/\beta con un tiempo aparente x/v_1 . Esto significa que podemos aproximar la expresión en el denominador como (x-\xi)^2-\beta^2r^2\approx 2\beta r (x-\xi-\beta r). Entonces podemos escribir, por ejemplo,
A partir de esta expresión, podemos calcular \partial\phi/\partial r, que también es igual a -\beta\partial\phi/\partial x ya que estamos en la región de las olas. El factor 1/\sqrt r que aparece delante de la integral no necesita diferenciarse ya que esto da lugar a una pequeña corrección proporcional a 1/r. Efectuando la diferenciación y volviendo a las variables originales, encontramos
Esto se puede simplificar realizando la integración sobre X. Cuando se cambia el orden de integración, el límite para X varía desde \mathrm{max}(\xi_1,\xi_2) hasta L\to\infty< /matemáticas>. Tras la integración, tenemos
El coeficiente de resistencia viene dado entonces por
:C_d = \frac{F}{\rho_1^2 v_1^2 l^2/2}.
Dado que F\sim \rho_1 v_1^2 S^2/l^2 que se sigue de la fórmula dada por, C_d \sim S^2/l^4, indica que el coeficiente de resistencia es proporcional al cuadrado del área de la sección transversal e inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud del cuerpo.
La forma con el arrastre de onda más pequeño para un volumen V y una longitud l dados se puede obtener a partir de la fórmula de la fuerza de arrastre de la onda. Esta forma se conoce como cuerpo de Sears-Haack.Haack, W. (1941). Geschossformen kleinsten wellenwiderstandes. Bericht der Lilienthal-Gesellschaft, 136(1), 14-28.Sears, W. R. (1947). En proyectiles de mínima resistencia de onda. Trimestral de Matemáticas Aplicadas, 4(4), 361-366.
[h4] '''Teoría de Kármán-Moore''' es una teoría linealizada para flujos supersónicos sobre un cuerpo delgado, que lleva el nombre de Theodore von Kármán y Norton B. Moore, quienes desarrollaron la teoría en 1932.Von Karman, T ., y Moore, NB (1932). Resistencia de cuerpos esbeltos que se mueven a velocidades supersónicas, con especial referencia a los proyectiles. Transacciones de la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos, 54(2), 303-310.Ward, G. N. (1949). Flujo supersónico pasando por cuerpos delgados y puntiagudos. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2(1), 75-97. La teoría en particular proporciona una fórmula explícita para el arrastre de ondas, que convierte la energía cinética del cuerpo en movimiento en ondas sonoras salientes detrás. el cuerpo. ==Descripción matemática== Considere un cuerpo delgado con bordes puntiagudos en la parte delantera y trasera. El flujo supersónico que pasará por este cuerpo será casi paralelo al eje x en todas partes, ya que las ondas de choque formadas (una en el borde de ataque y otra en el borde de salida) serán débiles; como consecuencia, el flujo será potencial en todas partes, lo que se puede describir usando el potencial de velocidad \phi' = xv_1 + \phi, donde v_1 es la velocidad uniforme entrante y \phi que caracteriza la pequeña desviación del flujo uniforme. En la teoría linealizada, \phi satisface
donde \beta^2=(v_1^2-c_1^2)/c_1^2=M_1^2-1, c_1 es la velocidad del sonido en el flujo entrante y M_1 es el [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] de Mach del flujo entrante. Esta es solo la ecuación de onda bidimensional y \phi es una perturbación propagada con un tiempo aparente x/v_1 y con una velocidad aparente v_1/\beta< /matemáticas>.
Sea el origen (x,y,z)=(0,0,0) ubicado en el extremo anterior del cuerpo puntiagudo. Además, sea S(x) el área de la sección transversal (perpendicular al eje x) y l sea la longitud de la línea delgada cuerpo, de modo que S(x)=0 para x1. Por supuesto, en flujos supersónicos, las perturbaciones (es decir, \phi) pueden propagarse sólo en la región detrás del cono de Mach (onda de Mach). El cono de Mach débil para el borde de ataque viene dado por x-\beta r=0, mientras que el cono de Mach débil para el borde de salida viene dado por x-\beta r = l< /math>, donde r^2=y^2+z^2 es la distancia radial al cuadrado desde el eje x.
La perturbación lejos del cuerpo es como la propagación de una onda cilíndrica. Frente al cono x-\beta r=0, la solución simplemente viene dada por \phi=0. Entre los conos x-\beta r = 0 y x-\beta r = l, la solución viene dada porLandau, L. D., y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, Volumen 6 (Vol. 6). Elsevier. artículo 123. páginas 123-124
La solución descrita anteriormente es exacta para todo r el cuerpo esbelto es un sólido o revolución. Si este no es el caso, la solución válida a grandes distancias tendrá una corrección asociada a la distorsión no lineal del perfil de choque, cuya fuerza es proporcional a (M_1-1)^{1/8}r^ {-3/4} y un factor que depende de la función de forma S(x).Whitham, G. B. (2011). Ondas lineales y no lineales. John Wiley e hijos. páginas 335-336.
La fuerza de arrastre F es solo el componente x del impulso por tiempo. Para calcular esto, considere una superficie cilíndrica con un radio grande y con un eje a lo largo del eje x. La densidad de flujo de impulso que atraviesa esta superficie está dada simplemente por \Pi_{xr}=\rho v_r (v_1+v_x)\approx \rho_1 (\partial\phi/\partial r)(v_1+\partial\phi/ \parcial x). La integración de \Pi_{xr} sobre la superficie cilíndrica da la fuerza de arrastre. Debido a la simetría, el primer término en \Pi_{xr} tras la integración da cero ya que el flujo de masa neto \rho v_r es cero en la superficie cilíndrica considerada. El segundo término da la contribución distinta de cero,
A grandes distancias, los valores x-\xi \sim \beta r (la región de la onda) son los más importantes en la solución para \phi; esto se debe a que, como se mencionó anteriormente, \phi es una perturbación similar que se propaga con una velocidad v_1/\beta con un tiempo aparente x/v_1 . Esto significa que podemos aproximar la expresión en el denominador como (x-\xi)^2-\beta^2r^2\approx 2\beta r (x-\xi-\beta r). Entonces podemos escribir, por ejemplo,
A partir de esta expresión, podemos calcular \partial\phi/\partial r, que también es igual a -\beta\partial\phi/\partial x ya que estamos en la región de las olas. El factor 1/\sqrt r que aparece delante de la integral no necesita diferenciarse ya que esto da lugar a una pequeña corrección proporcional a 1/r. Efectuando la diferenciación y volviendo a las variables originales, encontramos
Esto se puede simplificar realizando la integración sobre X. Cuando se cambia el orden de integración, el límite para X varía desde \mathrm{max}(\xi_1,\xi_2) hasta L\to\infty< /matemáticas>. Tras la integración, tenemos
El coeficiente de resistencia viene dado entonces por
:C_d = \frac{F}{\rho_1^2 v_1^2 l^2/2}.
Dado que F\sim \rho_1 v_1^2 S^2/l^2 que se sigue de la fórmula dada por, C_d \sim S^2/l^4, indica que el coeficiente de resistencia es proporcional al cuadrado del área de la sección transversal e inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud del cuerpo.
La forma con el arrastre de onda más pequeño para un volumen V y una longitud l dados se puede obtener a partir de la fórmula de la fuerza de arrastre de la onda. Esta forma se conoce como cuerpo de Sears-Haack.Haack, W. (1941). Geschossformen kleinsten wellenwiderstandes. Bericht der Lilienthal-Gesellschaft, 136(1), 14-28.Sears, W. R. (1947). En proyectiles de mínima resistencia de onda. Trimestral de Matemáticas Aplicadas, 4(4), 361-366.
Dinámica de fluidos [/h4]
More details: [url]https://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1rm%C3%A1n%E2%80%93Moore_theory[/url]
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