Coordenadas ortogonales ⇐ Proyectos de artículos

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En matemáticas, las ''coordenadas ortogonales'' son aquellas en las que las ubicaciones geométricas en las que exactamente una coordenada es constante (curvas, superficies o hipersuperficies) se encuentran todas en ángulos rectos.

La imagen muestra un sistema de coordenadas curvilíneo pero ortogonal que está muy extendido en la Tierra, porque los círculos de longitud y latitud se cruzan en ángulo recto en todas partes. La longitud es constante en los círculos de longitud que se muestran y la latitud en los paralelos de latitud es constante. Las coordenadas ortogonales son un caso especial pero comúnmente utilizado de coordenadas curvilíneas.

== Motivación ==
Si bien las operaciones vectoriales y las leyes físicas suelen ser más fáciles de derivar en coordenadas cartesianas, las coordenadas ortogonales no cartesianas también se utilizan para resolver problemas si tienen propiedades favorables para su descripción matemática. Por ejemplo, las coordenadas geográficas enumeradas al principio son muy adecuadas para la navegación en la superficie terrestre.

La principal ventaja de las coordenadas no cartesianas es que, como en el ejemplo dado, se pueden elegir para que coincidan con la simetría del problema que se está considerando. Por ejemplo, la onda de presión debida a una explosión lejos del suelo (u otros obstáculos) depende del espacio tridimensional en coordenadas cartesianas, pero la presión se aleja predominantemente del centro, por lo que el problema se vuelve casi unidimensional en coordenadas esféricas. (ya que la onda de presión proviene predominantemente sólo del tiempo y de la distancia al centro). Otro ejemplo es un líquido que fluye (lentamente) en un tubo circular recto: en coordenadas cartesianas habría que resolver un problema de valor límite bidimensional, mientras que en coordenadas cilíndricas el problema se vuelve esencialmente unidimensional, véase la ley de Hagen-Poiseuille. br />
La razón para preferir las coordenadas ortogonales en lugar de las coordenadas curvilíneas generales es la simplicidad: surgen complicaciones cuando las coordenadas no son ortogonales. Por ejemplo, en coordenadas ortogonales los problemas a menudo se pueden resolver separando las variables. La separación de variables es una técnica matemática que transforma un problema multidimensional complejo en un número correspondiente de problemas unidimensionales que pueden resolverse utilizando funciones conocidas. Muchas ecuaciones se remontan a la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz. La ecuación de Laplace se puede separar en 13 sistemas de coordenadas ortogonales (los 14 enumerados en la siguiente tabla, excluyendo el toroidal), y la ecuación de Helmholtz se puede separar en 11 sistemas de coordenadas ortogonales.>

El tensor métrico tiene una matriz diagonal en coordenadas ortogonales, por lo que el producto escalar adopta una forma especialmente sencilla.

== Generación de coordenadas ortogonales ==
En dos dimensiones, como en la imagen, se pueden crear sistemas de coordenadas ortogonales mapeando la cuadrícula de coordenadas en el plano xy. Un número complejo z = x + iy se puede formar a partir de las coordenadas reales xey, donde i representa la unidad imaginaria. Cualquier función holomorfa w = f( z ) con una función derivada compleja distinta de cero produce un mapa conforme.

Los mapeos conformes se utilizan en la teoría de los potenciales electrostáticos (campo electrostático), mecánica de fluidos (mecánica técnica y de fluidos). Sistema físico|Los sistemas físicos que son invariantes bajo mapas conformes tienen gran importancia en la física del estado sólido, en la teoría de cuerdas y en la teoría de campos conformes|teoría de campos conformes.

Se pueden crear coordenadas ortogonales en tres dimensiones o más a partir de un sistema de coordenadas bidimensionales ortogonales, ya sea proyectándolo a una nueva dimensión (coordenadas cilíndricas) o girando el sistema bidimensional alrededor de uno de sus ejes de simetría. Se pueden construir coordenadas ortogonales más generales comenzando con algunas superficies de coordenadas necesarias y considerando las curvas integrales formadas con sus vectores normales.

== Vectores base y factores métricos ==

En coordenadas cartesianas, los vectores de base estándar son espacialmente constantes, pero en coordenadas curvilíneas este no suele ser el caso. En cada punto del espacio hay un conjunto de vectores base vinculados a él, que se puede imaginar como un trípode que lo acompaña y que consta de ejes perpendiculares en coordenadas ortogonales, negro en la imagen.

=== Base covariante ===
La ''base covariante'' son los vectores tangentes a las líneas de coordenadas en el punto. Geometría diferencial|Geometría diferencial, los vectores base covariantes se calculan como una función derivada de la posición según la (una) coordenada q^k:

:\vec{g}_k=\frac{\partial\vec{r}(q^k)}{\partial q^k}

Estos vectores tienen cualquier magnitud, pero en sistemas ortogonales son perpendiculares entre sí en pares. Los vectores no normalizados forman la "base natural", a partir de la cual se crea la "base normalizada" mediante la normalización (vectores unitarios con sombrero circunflejo), que se designan con una "c" para distinguirlos de la base cartesiana. vectores:
:\vec{g}_k
=\underbrace{\left|\vec{g}_k\right|}
_{\begin{array}{c}\mathsf{metric}\\[-1ex]\mathsf{factor}\end{array
\underbrace{\frac{\vec{g}_k}{|\vec{g}_k|
_{\begin{array}{c}\mathsf{unidad}\\[-1ex]\mathsf{vector}\end{array
=h_k\hat{c}_k


=== Base contravariante ===
La base contravariante generalmente surge del gradiente de las coordenadas, según \vec{g}^k=\operatorname{grad}q^k
:\vec g^k=\frac{\hat c_k}{h_k}=\frac{\vec g_k}{h_k^2}

Esto se desprende del hecho de que los vectores de base covariantes y contravariantes forman sistemas de bases mutuamente recíprocos, con \vec g_j\cdot\vec g^k=\delta_j^k y el delta de Kronecker δ. En resumen esto significa:
:\hat c_k=\frac{\vec g_k}{h_k}=h_k\vec g^k={\hat c}^k\;,\quad
\hat c_j\cdot{\hat c}_k=\delta_{jk}

=== Factores métricos y coeficientes métricos ===
Los factores métricos h_k=|\vec g_k|=\tfrac1{|\vec g^k|} son positivos por definición y están relacionados con los coeficientes métricos
:\begin{align}
g_{jk}&=\vec g_j\cdot\vec g_k=h_j\hat c_j\cdot h_k\hat c_k=h_jh_k\delta_{jk}
\\
g^{jk}&=\vec g^j\cdot\vec g^k=\frac{\hat c_j}{h_j}\cdot\frac{\hat c_k}{h_k}=\frac{\delta _ jk} {h_jh_k}
\end{align}

Para j≠k los coeficientes métricos desaparecen y para j=k obtenemos
:h_k=|\vec g_k|=\sqrt{g_{kk\;,\quad
\left|\vec g^k\right|=\sqrt{g^{kk=\frac1{|\vec g_k|}=\frac1{h_k}


=== Coeficientes de vectores ===
Por lo tanto, existen tres conjuntos de bases diferentes que se utilizan comúnmente para describir vectores en coordenadas ortogonales: la base covariante \vec{g}_k, la base contravariante \vec{g}^k< / math> y la base normalizada \hat c_k, que son todas colineales pero pueden tener diferentes longitudes. Si bien un vector es una cantidad objetiva, lo que significa que su identidad es independiente de un sistema de coordenadas, los coeficientes de un vector dependen de en qué base se representa el vector. Para evitar confusiones, la posición del índice refleja el sistema base utilizado:

:\vec x = \sum_k x^k \vec g_k = \sum_k x_k \vec g^k

donde los índices superiores no deben confundirse con la exponenciación (poder (matemáticas)). La posición de los índices indica cómo se calculan los coeficientes:
:x_k=\vec x\cdot\vec g^k=h_k^2 x^k\;,\quad
x^k=\vec x\cdot\vec g_k=\frac{x_k}{h_k^2}

No existe una notación clara y ampliamente utilizada para los coeficientes en términos de base normalizada.

== Álgebra vectorial ==

La suma y resta de vectores se realiza componente a componente, como en las coordenadas cartesianas, sin complicaciones. Otras operaciones vectoriales pueden requerir consideraciones adicionales. Sin embargo, cabe señalar que todas las operaciones se aplican sólo a los vectores asociados con un punto, más precisamente, sólo a los vectores en el espacio tangente definido en el punto. Dado que los vectores base generalmente varían en coordenadas ortogonales de un lugar a otro, se deben tener en cuenta los diferentes vectores base al sumar dos vectores que existen en diferentes puntos del espacio.

=== producto escalar ===

El producto escalar en un espacio vectorial euclidiano con coordenadas cartesianas es simplemente la suma de los productos de los coeficientes. En coordenadas ortogonales, el producto escalar de dos vectores \vec x y \vec y toma esta forma familiar cuando se usa la base #normalizada para representar los vectores:

:\vec x\cdot\vec y=\sum_j x_j\hat c_j\cdot\sum_k y_k\hat c_k
=\sum _{j,k}x_j x_k\delta _{jk}=\sum_j x_j y_j

Respecto a la base covariante o contravariante, los coeficientes #co y contravariante dan como resultado:

:\begin{align}
\vec x\cdot\vec y
&=\sum_j x_j\vec g^j\cdot\sum_k y^k\vec g_k=\sum_{j,k}x_j y^k\delta^j_k
\\&=\sum_k x_ky^k=\sum_k x^ky_k=\sum_k h_k^2 x^k y^k=\sum_k\frac{x_k y_k}{h_k^2}
\end{align}

=== Producto cruzado ===

El producto cruzado en coordenadas cartesianas 3D es:

:\vec x\times\vec y=
(x_2y_3-x_3y_2)\hat e_1+(x_3y_1-x_1y_3)\hat e_2+(x_1y_2-x_2y_1)\hat e_3

La fórmula anterior sigue siendo válida en coordenadas ortogonales si forman un sistema legal (sistema legal (matemáticas)) y la base #normalizada \hat c_{1,2,3} se usa para representar los vectores:< br />
:\vec x\times\vec y=
(x_2y_3-x_3y_2)\hat c_1+(x_3y_1-x_1y_3)\hat c_2+(x_1y_2-x_2y_1)\hat c_3

Con ellos se aplica lo mismo que en las coordenadas cartesianas con el símbolo de permutación ''ϵ'':

:\hat c_i\times\hat c_j=\sum _{k=1}^3\epsilon _{ijk}\hat c_k

Aquí la base #normalizada se puede expresar con los vectores de base covariante y contravariante:

:\hat c_k=\frac{\vec g_k}{h_k}
\quad\rightarrow\quad
\vec g_i\times\vec g_j=h_ih_j\hat c_i\times\hat c_j
=h_ih_j\sum _{k=1}^3\frac{\epsilon _{ijk{h_k}\vec g_k

o

:\hat c_k=h_k\vec g^k
\quad\rightarrow\quad
\vec g^i\times\vec g^j=\frac{\hat c_i\times\hat c_j}{h_ih_j}
=\frac1{h_ih_j}\sum _{k=1}^3\epsilon _{ijk}h_k\vec g^k

Por ejemplo, esto se puede combinar para

:\vec x\times\vec y=\sum_{i=1}^3x^i\vec g_i\times\sum_{j=1}^3 y^j\vec g_j
=\sum_{i,j,k=1}^3 x^iy^j\frac{h_ih_j}{h_k}\epsilon_{ijk}\vec g_k

qué, escrito ampliado,

:\vec x\times\vec y=
\left(x^2y^3-x^3y^2\right)\frac{h_2h_3}{h_1}\vec g_1
+\left(x^3y^1-x^1y^3\right)\frac{h_1h_3}{h_2}\vec g_2
+\left(x^1y^2-x^2y^1\right)\frac{h_1h_2}{h_3}\vec g_3

resultados.

== Análisis vectorial ==

=== Operador de Nabla ===

El operador de Nabla en coordenadas curvilíneas es:
:\nabla=\sum_k\vec g^k\frac{\partial}{\partial q^k}
=\sum_k\frac{\vec c_k}{h_k}\frac{\partial}{\partial q^k}

Por ejemplo, se puede utilizar para representar los operadores diferenciales de la sección #OperadoresDiferenciales en tres dimensiones.

=== Factores métricos, elementos de trayectoria, área y volumen ===

Los factores métricos son las cantidades de los vectores de base natural, que se calculan a partir de funciones derivadas de la ubicación según una coordenada:
:\vec r=\sum_j x^j\hat e_j\;\rightarrow\quad
\vec g_k:=\frac{\part\vec r}{\part q^k}
=\sum_j\frac{\part x^j}{\part q^k}\hat e_j

con base estándar ê1,2,…. Los factores métricos se derivan de esto:
:h_k:=\sqrt{\vec g_k\cdot\vec g_k}
=\sqrt{\sum_j\left(\frac{\part x^j}{\part q^k}\right)^2}


Para calcular integrales necesitas:
=h_ih_j\hat c_k\mathrm dq^i\mathrm dq^j con valores cíclicos i,j,k
=h_1h_2h_3\mathrm dq^1\mathrm dq^2\mathrm dq^3

=== Operadores diferenciales en tres dimensiones ===
Las operaciones enumeradas en la tabla ocurren con frecuencia en las aplicaciones.
de un campo escalar
=
\frac{\hat c_1}{h_1}\frac{\part f}{\part q^1}
+\frac{\hat c_2}{h_2}\frac{\part f}{\part q^2}
+\frac{\hat c_3}{h_3}\frac{\part f}{\part q^3}

\vec f=\sum _{k=1}^3 f_k\hat c_k:
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\Bigg[\dots
\\&
\frac{\part}{\part q^1} ( f_1 h_2 h_3 )
+\frac{\part}{\part q^2} ( f_2 h_3 h_1 )
+\frac{\part}{\part q^3} ( f_3 h_1 h_2 )\Bigg]
\end{align}
\vec f=\sum _{k=1}^3 f_k\hat c_k:
\nabla \times \vec f
=&
\frac{\sombrero c_1}{h_2h_3}
\left[\frac{\part}{\part q^2}(h_3f_3)-\frac{\part}{\part q^3}(h_2f_2)\right]
\\&+
\frac{\sombrero c_2}{h_3h_1}
\left[\frac{\part}{\part q^3}(h_1f_1)-\frac{\part}{\part q^1}(h_3f_3)\right]
\\&
+ \frac{\hat c_3}{h_1 h_2}
\left[\frac{\part}{\part q^1}(h_2f_2)-\frac{\part}{\part q^2}(h_1f_1)\right]
\end{align}
de un campo escalar:
\Delta f=&
(\nabla\cdot\nabla)f=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\Bigg[\dots
\\&
\frac{\part}{\part q^1}\left(\frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\part f}{\part q^1}\right)
+\frac{\part}{\part q^2}\left(\frac{h_3h_1}{h_2}\frac{\part f}{\part q^2}\right)
+\frac{\part}{\part q^3}\left(\frac{h_1h_2}{h_3}\frac{\part f}{\part q^3}\right)
\Bigg]
\end{align}

== Sistemas de coordenadas ortogonales conocidos ==

* Coordenadas cilíndricas: (\rho,\phi,z)
:\rho\geq 0\,,\quad 0\leq\phi

More details: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Koordinaten