Un '''grossone'' (símbolo '''①''') es un número destinado a permitir la realización de cálculos numéricos con infinitos e infinitesimales.
'''①''' se ha comparado con Unidad imaginaria|''i'',https://research-portal.uea.ac.uk/files ... script.pdf que sirve como símbolo de una raíz cuadrada de uno negativo: aunque ningún número real es la raíz cuadrada de un número negativo, para algunos cálculos es útil introducir un número imaginario donde se puedan realizar aritméticas con un número con tal propiedad.
Si bien es similar a los números estrictamente infinitos, a '''①''' se le asigna un valor diferente del número aleph de Cantor.
El grossone se ha estudiado en lógica matemática, análisis numérico, optimización, autómatas celulares, probabilidad y filosofía de las matemáticas, aunque algunos matemáticos lo critican por estar insuficientemente definido o ser trivial.
== Antecedentes ==
Desarrollado originalmente por el matemático Yaroslav D. Sergeyev, Sergeyev presentó el enfoque grossone en el libro ''Arithmetic of Infinity'' y en artículos posteriores sobre cálculo numérico con cantidades infinitas e infinitesimales. procesos. Esto contrasta con la teoría de conjuntos cantoriana (teorema de Cantor) estándar, en la que el conjunto de números naturales y el conjunto de números naturales pares tienen el mismo tamaño (cardinalidad), es decir
== Definición y notación ==
Grossone se indica con el número '''①''' encerrado en un círculo. Sergeyev lo introduce a través del '''Axioma de la Unidad Infinita''', generalmente resumido en tres partes:
* '''Infinito''': todo número natural finito * '''Identidad''': ① satisface identidades como * '''Divisibilidad''': para cada entero positivo finito
En este marco, ① se trata como mayor que todo número natural finito y a menudo se representa como el elemento final de la secuencia de números naturales:
:
Esto difiere del tratamiento habitual de
== Interpretaciones ==
=== Interpretación de unidades infinitas ===
En la presentación original de Sergeyev, el grossone se introduce como una unidad de medida infinita, es decir, el número de elementos de un conjunto.
En esta interpretación, los números naturales se pueden escribir en la forma
:
donde '''①'''' se trata como el elemento más grande de
=== Interpretación genérica finita ===
Louis H. Kauffman propuso una interpretación diferente de la notación grossone en términos del finito genérico. En esta interpretación, ① no se trata como un número natural infinito completo, sino como un punto final simbólico de un segmento inicial finito arbitrario. Kauffman escribe que
:
no es un conjunto infinito, sino una estructura simbólica que representa un conjunto finito genérico.
Según la lectura de Kauffman, ① no es en sí mismo un número natural particular, pero puede tratarse como un número natural genérico en fórmulas finitas. Para cualquier realización finita de ①, el símbolo ① representa el elemento más elevado de esa realización; en este sentido, puede considerarse mayor que cualquier número entero particular nombrado de antemano. Kauffman describe esto como una relajación del enfoque original de Sergeyev, ya que la lectura finita genérica no requiere que ① tenga todas las propiedades de divisibilidad postuladas en la teoría de Sergeyev, como ser divisible por todo entero positivo finito.
Kauffman formula un principio de transferencia para esta interpretación: una declaración
Por tanto, la interpretación finita genérica es distinta tanto de la teoría de conjuntos cantoriana ordinaria como de la interpretación original de unidades infinitas de Sergeyev. Trata la notación grossone como un dispositivo formal para razonar sobre estructuras finitas arbitrarias y su comportamiento limitante, en lugar de como un compromiso con conjuntos infinitos completos.
== Relación con otras teorías del infinito ==
Grossone es distinto del cardenal estándar
La relación entre grossone y el análisis no estándar ha sido controvertida. Gutman y Kutateladze argumentaron que la teoría informal del grossone de Sergeyev admite una formalización dentro del análisis clásico no estándar, modelando el grossone mediante
Gabriele Lolli dio un tratamiento axiomático de grossone en 2015, utilizando un lenguaje de segundo orden y una lógica predicativa de segundo orden. La formalización de Lolli no era axiomatizable de manera finita y demostró ser una extensión conservadora de la aritmética de Peano. Franco Montagna, Giulia Simi y Andrea Sorbi estudiaron sistemas formales relacionados inspirados en grossone, incluidos universos acotados de números naturales finitos e infinitos.
== Aplicaciones ==
Se han propuesto métodos basados en Grossone para una variedad de áreas de matemáticas aplicadas y computación. La encuesta de Sergeyev de 2017 analizó las aplicaciones propuestas para conjuntos infinitos, series divergentes, probabilidad, fractales, diferenciación numérica, ecuaciones diferenciales ordinarias y optimización.
En programación matemática e investigación de operaciones, Sonia De Cosmis y Renato De Leone propusieron usos de grossone en procedimientos anticíclicos para el método simplex y en funciones de penalización diferenciables exactas para programación no lineal. Louis D'Alotto aplicó el axioma de unidad infinita y grossone a la clasificación de autómatas celulares unidimensionales.
En optimización, Marco Cococcioni, Massimo Pappalardo y Sergeyev propusieron un método basado en Grossone para la programación lineal lexicográfica multiobjetivo. Trabajos posteriores de Cococcioni y sus colaboradores propusieron un método de plano de corte para la programación lineal entera lexicográfica multiobjetivo utilizando la metodología Grossone. Cristian S. Calude y Monica Dumitrescu utilizó un formalismo inspirado en Grossone para estudiar probabilidades infinitesimales en conjuntos infinitos de números enteros positivos.
=== Infinito potencial y límites ===
Grossone ha sido discutido en relación con la distinción tradicional entre infinito potencial e infinito real, especialmente en relación con el uso de límites. Sergeyev contrasta la metodología basada en ① con el tratamiento ordinario del infinito basado en límites: en su explicación, el concepto de límite de d'Alembert-Cauchy reemplazó cantidades infinitas e infinitesimales reales por cantidades potenciales, mientras que la notación grossone tiene como objetivo permitir que las expresiones se evalúen en puntos infinitos o infinitesimales específicos.
La interpretación finita genérica de Kauffman da una conexión diferente con el infinito no completo. Kauffman parte de la postura de que no hay conjuntos infinitos completos e interpreta ① como un punto final simbólico de un segmento inicial finito arbitrario, en lugar de como un conjunto infinito completo cantoriano. En esta lectura, una fórmula que contiene ① puede entenderse como una fórmula finita con un límite superior grande no especificado. Kauffman afirma que las expresiones que involucran ① pueden leerse como fórmulas finitas genéricas y, en casos adecuados, como indicativas del comportamiento de un límite correspondiente o suma infinita.
Un uso relacionado aparece en el trabajo sobre series infinitas. Zhigljavsky propuso axiomas para utilizar grossone en la suma, incluido un principio de "transición a un límite" según el cual, si una secuencia tiende a cero como
Estas interpretaciones no deben confundirse. En la metodología original de Sergeyev, ① se trata como una unidad de medida infinita real. En contraste, en la interpretación finita genérica de Kauffman, ① es un dispositivo simbólico para razonar sobre estructuras finitas arbitrarias y su comportamiento limitante sin asumir conjuntos infinitos completos.
== Crítica ==
La noción de grossone ha sido objeto tanto de estudio formal como de crítica. Lolli describió el enfoque de Sergeyev como que involucra elementos de realismo, formalismo y finitismo, al tiempo que identificó puntos que requieren aclaración o mayor desarrollo. Paul Ernest caracterizó a Grossone como una controversia contemporánea sobre el infinito en la práctica matemática, destacando tanto el alcance del historial de publicaciones de Sergeyev como la fuerza de las críticas dirigidas a la teoría.
Gutman y Kutateladze argumentaron que el grossone podría formalizarse dentro de un análisis no estándar y criticaron la presentación de Sergeyev como innecesaria o imprecisa. name="Gutman2017" /> Sergeyev respondió a tales afirmaciones en un artículo de 2019 defendiendo la independencia de la metodología grossone del análisis no estándar.
Ernest concluyó en 2023 que el valor del enfoque grossone seguía sin resolverse y que aún no se había resuelto ningún problema decisivo que no pudiera resolverse con los métodos existentes.
== Ver también ==
* Número Aleph
* Número cardinal
* La paradoja de Hilbert del Gran Hotel
*Número hiperreal
* Infinitesimal
* Análisis no estándar
* Sistema numérico
* Número ordinal
* Números imaginarios
* Número surrealista
* Número transfinito
More details: https://en.wikipedia.org/wiki/Grossone