Cono normal (análisis convexo) ⇐ Proyectos de artículos

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En optimización (análisis y optimización convexa (matemáticas)), el '''cono normal''' a un conjunto en un punto es un cono convexo que consta de vectores que forman un ángulo no agudo con cada dirección factible desde el punto. Para un conjunto convexo, es el cono polar (Cono dual y cono polar) del cono tangente y da una forma geométrica de condiciones de optimización de primer orden.
== Definición ==

Sea C un subconjunto convexo de un espacio producto interno real de dimensión finita V, y sea x\in C. El '''cono normal''' a C en x es


N_C(x)=\{v\in V:\langle v,y-x\rangle\leq 0\text{ para todos }y\in C\}.


Si x\notin C, el cono normal a menudo se define como vacío. Los elementos de N_C(x) se llaman vectores normales a C en x. La convención de signos anterior proporciona normales exteriores.

Si x es un punto interior de C, entonces N_C(x)=\{0\}. Si C es un cuerpo convexo liso de dimensiones completas y x es un punto límite, entonces N_C(x) es el rayo generado por el vector normal exterior en x.

== Subgradientes ==

Los conos normales están estrechamente relacionados con los subgradientes. If f:V\to\mathbb R\cup\{+\infty\} is a proper convex function, then its epigraph
\operatorname{epi} f=\{(x,t):t\geq f(x)\}
es un conjunto convexo. Un vector p\in V es un subgradiente de f en x si y solo si (p,-1)\in N_{\operatorname{epi} f}(x,f(x)).

De manera equivalente,
f(y)\geq f(x)+\langle p,y-x\rangle\quad\text{para todos }y.

=== Conjuntos de subniveles ===
Aún teniendo f una función convexa adecuada, considere el subnivel establecido a través de un punto x:
C=\{y:f(y)\leq f(x)\}.
Cada subgradiente de
f en x determina un vector normal a C en
x. De hecho, si p\in\partial f(x) y y\in C, entonces
\langle p,y-x\rangle\leq f(y)-f(x)\leq 0.

Bajo hipótesis de regularidad estándar, por ejemplo cuando
x\in\operatorname{core}(\operatorname{dom} f) y x no es un
minimizador de f, lo contrario también se cumple:
N_C(x)=\mathbb R_+\,\partial f(x),
o equivalentemente, el cono normal al conjunto de subniveles es el cono convexo cerrado
generado por el subdiferencial.
== Notas ==

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Análisis convexo
Geometría convexa
Optimización

More details: https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_co ... _analysis)