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En teoría de números, un número malvado es un entero no negativo que tiene un número par de unos en el sistema binario.Neil Sloane: [https://oeis.org/A001969 Secuencia A001969: Números malvados: enteros no negativos con un número par de unos en su expansión binaria], en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras Los enteros no negativos que no son malos se llaman "números odiosos".

El matemático John Horton Conway (John Conway) escribió en su libro de 1982 "Winning Ways for Your Mathematical Plays" 20Mathematical%20Plays%20V1.pdf Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volumen 1, p.110] (PDF) los nombres se establecen a partir de un juego de palabras. Los "números malos" tienen un número "par", es decir, un número par de unos, los "números odiosos" tienen un número "impar", es decir, un número impar de unos.

== Ejemplos ==
* La representación binaria (es decir, la representación en el sistema dual) de k=23 es:
:: 23=16+0+4+2+1=1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^ 0 = (10111)_2
: Esta representación binaria consta de 4 unos. 4 es un número par y por lo tanto k=23 es un número malo.

* La representación binaria de k=25 es:
:: 25=16+8+0+0+1=1 \cdot 2^4+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+0 \cdot 2^1+1 \cdot 2^ 0 = (11001)_2
: Esta representación binaria consta de 3 unos. 3 es un número impar y por lo tanto k=25 no es un número malvado, sino un número espantoso.

* Los primeros números malos que son menores que 100 son:
:: 0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, 34, 36, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 51, 53, 54, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 71, 72, 75, 77, 78, 80, 83, 85, 86, 89, 90, 92, 95, 96, 99,… (
== Propiedades ==
* Sea d>2. Entonces se aplican las dos declaraciones siguientes:[https://www.numbersaplenty.com/set/evil_number/ evil number] en ''Numbers Aplenty''
:* Hay un número igual de números malvados y repugnantes, cada uno de los cuales tiene d dígitos en el sistema dual.
:* El conjunto de números malvados con dígitos d en el sistema dual y el conjunto de números repugnantes con dígitos d en el sistema dual tienen la misma suma, es decir,
::: 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}
:::: ''Ejemplo:''
::::: Sea d=5.
::::: Entonces existen exactamente 8 números malvados cuya representación binaria solo tiene 5 dígitos, a saber los siguientes:
:::::: '''17'''=(10001)2, '''18'''=(10010)2, '''20 '''=(10100)2, '''23'''=(10111)2, '''24'''=(11000) 2, '''27'''=(11011)2, '''29'''=(11101)2 y '''30 '''=(11110)2
::::: Además, existen exactamente 8 números horribles cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos, a saber, los siguientes:
:::::: '''16'''=(10000)2, '''19'''=(10011)2, '''21 '''=(10101)2, '''22'''=(10110)2, '''25'''=(11001) 2, '''26'''=(11010)2, '''28'''=(11100)2 y '''31 '''=(11111)2
::::: Obviamente hay un número igual de números malvados y viles cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos, concretamente 8, que es lo que requiere la primera afirmación de la frase anterior.
::::: Además, 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}=3 \cdot 2^{2 \cdot 5-4}-2^{5-3} =3 \cdot 2^6-2^2=3 \cdot {64}-4=192-4=188.
::::: En realidad, la suma de los 8 números malvados, cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos:
:::::: 17+18+20+23+24+27+29+30=188
::::: Para la suma de los 8 horribles números, cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos, se aplica lo siguiente:
:::::: 16+19+21+22+25+26+28+31=188
::::: La suma es igual a la indicada en la frase anterior.

* Dejemos que la '''suma Nim''', \oplus, se defina de la siguiente manera:
:: Para cada par de números enteros no negativos a,b \in \mathbb N se aplica lo siguiente: (a)_{10} \oplus (b)_{10} = (a)_2+ (b)_2 con 0+0=0, 0+1=1+0, 1+1=0 (en este último caso, sin embargo, sin transferencia a la siguiente posición superior).
: Entonces se aplica lo siguiente:
:: Los números malvados y espantosos se comportan bajo la “suma Nim”, \oplus, como los números pares e impares bajo la suma “normal”. Entonces se aplica lo siguiente:
:::* mal \oplus mal = mal
:::* asqueroso \oplus asqueroso = malvado
:::* malvado \oplus asqueroso = asqueroso \oplus mal = asqueroso
::::: ''Ejemplo 1:''
:::::: Arriba se demostró que 23=(10111)_2 es un número malvado, y 51=(110011)_2 también es un número malvado: < br /> ::::::: 23_{10} \oplus 51_{10} = (10111)_2 + (110011)_2 = (100100)_2
:::::: El resultado tiene un número par de unos, por lo que es un número malo.
::::: ''Ejemplo 2:''
:::::: Arriba se demostró que 25=(11001)_2 es un número horrible, y además 52=(110100)_2 también es un número horrible:
::::::: 25_{10} \oplus 52_{10} = (11001)_2 + (110100)_2 = (101101)_2
:::::: El resultado tiene un número par de unos, por lo que es un número malo.
::::: ''Ejemplo 3:''
:::::: Arriba se demostró que 51 es un número malvado y 52 es un número horrible:
::::::: 51_{10} \oplus 52_{10} = (110011)_2 + (110100)_2 = (000111)_2
:::::: El resultado tiene un número impar de unos, por lo que es un número espantoso.

* Hay cuadrados mágicos que se componen únicamente de números malvados. El cuadrado mágico con los números malvados más pequeños es el siguiente:

* Si omites el último dígito (es decir, el último bit) de la representación binaria de los números malvados, obtienes el conjunto de números naturales, es decir, 0, 1, 2, 3, ...

* Los números malvados indican las posiciones de los valores cero en la secuencia Thue-Morse y, por lo tanto, también se denominan '''conjunto Thue-Morse'''.
::''Ejemplo:''
::: La secuencia Morse es:
:::: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, … ( ::: En realidad, si empiezas a contar con 0, esta secuencia tiene un cero en los dígitos 0, 3, 5, 6, 9, 10, etc. Los números malos indican los lugares donde el código Morse tiene un cero.

*Se conocen números que son iguales a la suma de sus malignos divisores. Estos son:Neil Sloane: [https://oeis.org/A230587 Secuencia A230587: Número n tal que la suma de sus divisores malos propios (A001969) es igual a n.], en Línea Enciclopedia de secuencias enteras
:: 18, 476, 1484, 1988, 2324, 3164, 4172, 4564, 5516, 7196, 7364, 7532, 8036, 8876, 9716, 9772, 10052, 10444, 10892, 12572, 3076, 13412, 14084, 16604, 16772, 18004, 19866, 20692, 21328, 21364, 21644, 22316, 22988, 23492, 23884, 23996, 24164, 24668, 24836,… ( : Se podrían llamar a los números anteriores '''números malvados-perfectos'''.
::: ''Ejemplo:''
:::: La representación binaria del número malvado n=18 es:
::::: n=18=16+0+0+2+0=1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(10010)_2
:::: El número n=18 tiene los siguientes divisores: d_1=1=(1)_2, d_2=2=(10)_2, d_3=3=(11)_2 , d_4=6=(110)_2, d_5=9=(1001)_2. Los divisores 3, 6 y 9 tienen un número par de unos en su representación binaria, por lo que son números malos y se aplica lo siguiente: < matemáticas>3 +6+9=18. Por tanto, 18 es la suma de sus divisores malvados.

* El conjunto de los números enteros no negativos se puede dividir de forma única en el conjunto de los números malvados y el conjunto de los números viles. Estos tienen múltiples conjuntos iguales de sumas por pares.

* La división de los números de 0 a 2^k-1 para todos los números naturales k \in \mathbb N en números malvados y viles ofrece una solución al problema de Prouhet-Tarry-Escott de encontrar conjuntos de números cuyas sumas de potencias sean iguales hasta la k-ésima potencia.
:: Esta afirmación fue comprobada por el matemático francés Eugène Prouhet en el siglo XIX.

* En informática, los números malvados tienen una paridad|paridad de bit par.

== Literatura ==
*

* * [https://www.numbersaplenty.com/set/evil_number/ evil number] en ''Numbers Aplenty''



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Categoría:Teoría de números

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