En teoría de números, un "número odioso" es un entero no negativo que tiene un número impar de unos en el sistema binario.Neil Sloane: [https://oeis.org/A000069 Secuencia A000069: Odioso números: números con un número impar de unos en su expansión binaria], en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros Los enteros no negativos que no son desagradables se llaman 'números malvados'.
El matemático John Horton Conway (John Conway) escribió en su libro de 1982 "Winning Ways for Your Mathematical Plays" 20Mathematical%20Plays%20V1.pdf Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volumen 1, p.110] (PDF) los nombres se establecen a partir de un juego de palabras. Los "números odiosos" tienen un número "impar", es decir, un número impar de unos, los "números malvados" tienen un número "par", es decir, un número par de unos.
== Ejemplos ==
* La representación binaria (es decir, la representación en el sistema dual) de k=22 es:
:: 22=16+0+4+2+0=1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+0 \cdot 2^ 0 = (10110)_2
: Esta representación binaria consta de 3 unos. 3 es un número impar y por lo tanto k=22 es un número abominable.
* La representación binaria de k=27 es:
:: 27=16+8+0+2+1=1 \cdot 2^4+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^ 0 = (11011)_2
: Esta representación binaria consta de 4 unos. 4 es un número par y por lo tanto k=27 no es un número horrible, sino un número malvado.
* Los primeros números horribles menores de 100 son:
:: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 38, 41, 42, 44, 47, 49, 50, 52, 55, 56, 59, 61, 62, 64, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 84, 87, 88, 91, 93, 94, 97, 98,… (
== Propiedades ==
* Sea a(n) el nésimo número horrible (con a(0)=1).
: Entonces se aplica lo siguiente:
:: a(a(n))=2 \cdot a(n) para todos los n
::: ''Ejemplo:''
:::: Sea n=10. De la secuencia de números anterior puedes ver que a(n)=a(10)=21. Además, a(a(n))=a(a(10))=a(21)=42. De hecho, a(a(n)) = 42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot a(n).
* Sea n un número entero positivo. Entonces se aplica lo siguiente:
:* Hay un múltiplo de n que es horrible y como máximo n \cdot (n+4).
:* Los números para los cuales este límite superior es estrecho son exactamente los números de Mersenne con exponentes pares, es decir, números de la forma 2^{2k}-1=4^k-1 (es decir, 3, 15, 63, 255,… ( ::: ''Ejemplo:''
:::: Sea n=10. Entonces puedes ver en la secuencia de números anterior que entre los múltiplos de 10, el número 70 es el primero en ser horrible. De hecho, 70). El horrible múltiplo más pequeño de este número es 285. De hecho, 285=15 \cdot (15+4)=15 \cdot 19.
* Los números abominables indican las posiciones de los valores uno en la secuencia Thue-Morse.
::''Ejemplo:''
::: La secuencia Morse es:
:::: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, … ( ::: En realidad, si empiezas a contar desde 0, esta secuencia tiene un uno en el 1º, 2º, 4º, 7º, 8º, 11º, etc. Así que los horribles números indican los lugares donde el código Morse tiene un uno.
* Cada número n de la forma n=2^k, es decir, cada potencia de dos, es un número abominable.
:: ''Prueba:''
::: La representación binaria de una potencia de dos tiene sólo una ubicación distinta de cero, es decir, la ubicación más a la izquierda. \Box
:: ''Ejemplo:''
::: Para la representación binaria de n=2^6=64 se aplica lo siguiente: n=64=1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(1000000)_2. Tiene un número impar de unos (porque en binario solo hay uno), por lo que el número es un número abominable.
* Todo número primo p \not= 3 de la forma p=2^k-1, es decir, todo número primo de Mersenne, es un número abominable.
:: ''Prueba:''
::: La representación binaria del número p=2^k-1 consta de k unos. El exponente k de un número primo de Mersenne es siempre un número primo (consulte Número de Mersenne#Historia|aquí). Como los números primos, aparte de k=2, siempre son impares, el número k también debe ser impar. Por tanto, la representación binaria del número p=2^k-1 consta de k, es decir, un número impar de unos. Por tanto, el número p es un número espantoso.
::: El caso especial con k=2 da el primo de Mersenne p=2^2-1=3 y para la representación binaria de p=3< / math> aplica: p=3=2+1=1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 =(11)_2. Consta de 2 unos, por lo que el número p=3 es un número malo y, por lo tanto, está excluido de esta afirmación. \Box
:: ''Ejemplo:''
::: Para la representación binaria del cuarto primo de Mersenne n=127=2^7-1 se aplica lo siguiente:
:::: n=127=64+32+16+8+4+2+1=1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2 ^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 =(1111111)_2.
::: Tiene 7, que es un número impar de unos (porque en binario solo hay unos), por lo que el número es un número horrible.
* Sea d>2. Entonces se aplican las dos afirmaciones siguientes:[https://www.numbersaplenty.com/set/odious_number/ odious number] sobre ''Numbers Aplenty''
:* Hay un número igual de números malvados y repugnantes, cada uno de los cuales tiene d dígitos en el sistema dual.
:* El conjunto de números malvados con dígitos d en el sistema dual y el conjunto de números repugnantes con dígitos d en el sistema dual tienen la misma suma, es decir,
::: 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}
:::: ''Ejemplo:''
::::: Sea d=5.
::::: Entonces existen exactamente 8 números malvados cuya representación binaria solo tiene 5 dígitos, a saber los siguientes:
:::::: '''17'''=(10001)2, '''18'''=(10010)2, '''20 '''=(10100)2, '''23'''=(10111)2, '''24'''=(11000) 2, '''27'''=(11011)2, '''29'''=(11101)2 y '''30 '''=(11110)2
::::: Además, existen exactamente 8 números horribles cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos, a saber, los siguientes:
:::::: '''16'''=(10000)2, '''19'''=(10011)2, '''21 '''=(10101)2, '''22'''=(10110)2, '''25'''=(11001) 2, '''26'''=(11010)2, '''28'''=(11100)2 y '''31 '''=(11111)2
::::: Obviamente hay un número igual de números malvados y viles cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos, concretamente 8, que es lo que requiere la primera afirmación de la frase anterior.
::::: Además, 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}=3 \cdot 2^{2 \cdot 5-4}-2^{5-3} =3 \cdot 2^6-2^2=3 \cdot {64}-4=192-4=188.
::::: En realidad, la suma de los 8 números malvados, cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos:
:::::: 17+18+20+23+24+27+29+30=188
::::: Para la suma de los 8 horribles números, cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos, se aplica lo siguiente:
:::::: 16+19+21+22+25+26+28+31=188
::::: La suma es igual a la indicada en la frase anterior.
* Dejemos que la '''suma Nim''', \oplus, se defina de la siguiente manera:
:: Para cada par de números enteros no negativos a,b \in \mathbb N se aplica lo siguiente: (a)_{10} \oplus (b)_{10} = (a)_2+ (b)_2 con 0+0=0, 0+1=1+0, 1+1=0 (en este último caso, sin embargo, sin transferencia a la siguiente posición superior).
: Entonces se aplica lo siguiente:
:: Los números malvados y espantosos se comportan bajo la “suma Nim”, \oplus, como los números pares e impares bajo la suma “normal”. Entonces se aplica lo siguiente:
:::* mal \oplus mal = mal
:::* asqueroso \oplus asqueroso = malvado
:::* malvado \oplus asqueroso = asqueroso \oplus mal = asqueroso
::::: ''Ejemplo 1:''
:::::: Arriba se demostró que 27=(11011)_2 es un número malvado, y además 51=(110011)_2 también es un número malvado:
::::::: 27_{10} \oplus 51_{10} = (11011)_2 + (110011)_2 = (101000)_2
:::::: El resultado tiene un número par de unos, por lo que es un número malo.
::::: ''Ejemplo 2:''
:::::: Arriba se demostró que 22=(10110)_2 es un número horrible, y además 52=(110100)_2 también es un número horrible:
::::::: 22_{10} \oplus 52_{10} = (10110)_2 + (110100)_2 = (100010)_2
:::::: El resultado tiene un número par de unos, por lo que es un número malo.
::::: ''Ejemplo 3:''
:::::: Arriba se demostró que 51 es un número malvado y 52 es un número horrible:
::::::: 51_{10} \oplus 52_{10} = (110011)_2 + (110100)_2 = (000111)_2
:::::: El resultado tiene un número impar de unos, por lo que es un número espantoso.
* Se conocen algunos números que son iguales a la suma de sus horribles divisores. Estos son:
:: 28, 496, 8128, 415800, 2096128, 33550336, 8589869056 ( : Excepto 415800 y 2096128, todos estos números son números perfectos. Se podrían llamar a los números anteriores '''números odiosos-perfectos'''.Neil Sloane: [https://oeis.org/A212302 A212302: Números k cuya suma de divisores odiosos propios (A000069 ) es igual a k.], en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras
::: ''Ejemplo:''
:::: La representación binaria del horrible número n=28 es:
::::: n=28=16+8+4+0+0=1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(11100)_2
:::: El número n=28 tiene los siguientes divisores: d_1=1=(1)_2, d_2=2=(10)_2, d_3=4=(100)_2 , d_4=7=(111)_2, d_5=14=(1110)_2. Todos los divisores tienen un número impar de unos en su representación binaria, por lo que todos los divisores son números horribles. Entonces, el horrible número n=28 solo tiene horribles divisores que suman 28.
* Si omites el último dígito (es decir, el último bit) de la representación binaria de los horribles números, obtienes el conjunto de números naturales, es decir, 0, 1, 2, 3, ...Neil Sloane: [https://oeis.org/A001969 Secuencia A001969: Números malvados: enteros no negativos con un número par de unos en su expansión binaria], en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras
* El conjunto de los números enteros no negativos se puede dividir de forma única en el conjunto de los números malvados y el conjunto de los números viles. Estos tienen múltiples conjuntos iguales de sumas por pares.
* En informática, los números desagradables tienen una paridad impar.
[h4] En teoría de números, un "número odioso" es un entero no negativo que tiene un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] impar de unos en el sistema binario.Neil Sloane: [https://oeis.org/A000069 Secuencia A000069: Odioso números: números con un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] impar de unos en su expansión binaria], en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros Los enteros no negativos que no son desagradables se llaman 'números malvados'.
El matemático John Horton Conway (John Conway) escribió en su libro de 1982 "Winning Ways for Your Mathematical Plays" 20Mathematical%20Plays%20V1.pdf Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volumen 1, p.110] (PDF) los nombres se establecen a partir de un juego de palabras. Los "números odiosos" tienen un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] "impar", es decir, un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] impar de unos, los "números malvados" tienen un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] "par", es decir, un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] par de unos.
== Ejemplos == * La representación binaria (es decir, la representación en el sistema dual) de k=22 es: :: 22=16+0+4+2+0=1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+0 \cdot 2^ 0 = (10110)_2 : Esta representación binaria consta de 3 unos. 3 es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] impar y por lo tanto k=22 es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] abominable.
* La representación binaria de k=27 es: :: 27=16+8+0+2+1=1 \cdot 2^4+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^ 0 = (11011)_2 : Esta representación binaria consta de 4 unos. 4 es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] par y por lo tanto k=27 no es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] horrible, sino un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] malvado.
* Los primeros números horribles menores de 100 son: :: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 38, 41, 42, 44, 47, 49, 50, 52, 55, 56, 59, 61, 62, 64, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 84, 87, 88, 91, 93, 94, 97, 98,… ( == Propiedades == * Sea a(n) el nésimo [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] horrible (con a(0)=1). : Entonces se aplica lo siguiente: :: a(a(n))=2 \cdot a(n) para todos los n ::: ''Ejemplo:'' :::: Sea n=10. De la secuencia de números anterior puedes ver que a(n)=a(10)=21. Además, a(a(n))=a(a(10))=a(21)=42. De hecho, a(a(n)) = 42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot a(n).
* Sea n un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] entero positivo. Entonces se aplica lo siguiente: :* Hay un múltiplo de n que es horrible y como máximo n \cdot (n+4). :* Los números para los cuales este límite superior es estrecho son exactamente los números de Mersenne con exponentes pares, es decir, números de la forma 2^{2k}-1=4^k-1 (es decir, 3, 15, 63, 255,… ( ::: ''Ejemplo:'' :::: Sea n=10. Entonces puedes ver en la secuencia de números anterior que entre los múltiplos de 10, el [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] 70 es el primero en ser horrible. De hecho, 70). El horrible múltiplo más pequeño de este [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] es 285. De hecho, 285=15 \cdot (15+4)=15 \cdot 19.
* Los números abominables indican las posiciones de los valores uno en la secuencia Thue-Morse. ::''Ejemplo:'' ::: La secuencia Morse es: :::: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, … ( ::: En realidad, si empiezas a contar desde 0, esta secuencia tiene un uno en el 1º, 2º, 4º, 7º, 8º, 11º, etc. Así que los horribles números indican los lugares donde el código Morse tiene un uno.
* Cada [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] n de la forma n=2^k, es decir, cada potencia de dos, es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] abominable. :: ''Prueba:'' ::: La representación binaria de una potencia de dos tiene sólo una ubicación distinta de cero, es decir, la ubicación más a la izquierda. \Box :: ''Ejemplo:'' ::: Para la representación binaria de n=2^6=64 se aplica lo siguiente: n=64=1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(1000000)_2. Tiene un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] impar de unos (porque en binario solo hay uno), por lo que el [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] abominable.
* Todo [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] primo p \not= 3 de la forma p=2^k-1, es decir, todo [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] primo de Mersenne, es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] abominable. :: ''Prueba:'' ::: La representación binaria del [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] p=2^k-1 consta de k unos. El exponente k de un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] primo de Mersenne es siempre un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] primo (consulte [url=viewtopic.php?t=2817]Número[/url] de Mersenne#Historia|aquí). Como los números primos, aparte de k=2, siempre son impares, el [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] k también debe ser impar. Por tanto, la representación binaria del [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] p=2^k-1 consta de k, es decir, un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] impar de unos. Por tanto, el [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] p es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] espantoso. ::: El caso especial con k=2 da el primo de Mersenne p=2^2-1=3 y para la representación binaria de p=3< / math> aplica: p=3=2+1=1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 =(11)_2. Consta de 2 unos, por lo que el [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] p=3 es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] malo y, por lo tanto, está excluido de esta afirmación. \Box :: ''Ejemplo:'' ::: Para la representación binaria del cuarto primo de Mersenne n=127=2^7-1 se aplica lo siguiente: :::: n=127=64+32+16+8+4+2+1=1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2 ^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 =(1111111)_2. ::: Tiene 7, que es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] impar de unos (porque en binario solo hay unos), por lo que el [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] horrible.
* Sea d>2. Entonces se aplican las dos afirmaciones siguientes:[https://www.numbersaplenty.com/set/odious_number/ odious number] sobre ''Numbers Aplenty'' :* Hay un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] igual de números malvados y repugnantes, cada uno de los cuales tiene d dígitos en el sistema dual. :* El conjunto de números malvados con dígitos d en el sistema dual y el conjunto de números repugnantes con dígitos d en el sistema dual tienen la misma suma, es decir, ::: 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3} :::: ''Ejemplo:'' ::::: Sea d=5. ::::: Entonces existen exactamente 8 números malvados cuya representación binaria solo tiene 5 dígitos, a saber los siguientes: :::::: '''17'''=(10001)2, '''18'''=(10010)2, '''20 '''=(10100)2, '''23'''=(10111)2, '''24'''=(11000) 2, '''27'''=(11011)2, '''29'''=(11101)2 y '''30 '''=(11110)2 ::::: Además, existen exactamente 8 números horribles cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos, a saber, los siguientes: :::::: '''16'''=(10000)2, '''19'''=(10011)2, '''21 '''=(10101)2, '''22'''=(10110)2, '''25'''=(11001) 2, '''26'''=(11010)2, '''28'''=(11100)2 y '''31 '''=(11111)2 ::::: Obviamente hay un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] igual de números malvados y viles cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos, concretamente 8, que es lo que requiere la primera afirmación de la frase anterior. ::::: Además, 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}=3 \cdot 2^{2 \cdot 5-4}-2^{5-3} =3 \cdot 2^6-2^2=3 \cdot {64}-4=192-4=188. ::::: En realidad, la suma de los 8 números malvados, cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos: :::::: 17+18+20+23+24+27+29+30=188 ::::: Para la suma de los 8 horribles números, cuya representación binaria sólo tiene 5 dígitos, se aplica lo siguiente: :::::: 16+19+21+22+25+26+28+31=188 ::::: La suma es igual a la indicada en la frase anterior.
* Dejemos que la '''suma Nim''', \oplus, se defina de la siguiente manera: :: Para cada par de números enteros no negativos a,b \in \mathbb N se aplica lo siguiente: (a)_{10} \oplus (b)_{10} = (a)_2+ (b)_2 con 0+0=0, 0+1=1+0, 1+1=0 (en este último caso, sin embargo, sin transferencia a la siguiente posición superior). : Entonces se aplica lo siguiente: :: Los números malvados y espantosos se comportan bajo la “suma Nim”, \oplus, como los números pares e impares bajo la suma “normal”. Entonces se aplica lo siguiente: :::* mal \oplus mal = mal :::* asqueroso \oplus asqueroso = malvado :::* malvado \oplus asqueroso = asqueroso \oplus mal = asqueroso ::::: ''Ejemplo 1:'' :::::: Arriba se demostró que 27=(11011)_2 es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] malvado, y además 51=(110011)_2 también es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] malvado: ::::::: 27_{10} \oplus 51_{10} = (11011)_2 + (110011)_2 = (101000)_2 :::::: El resultado tiene un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] par de unos, por lo que es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] malo. ::::: ''Ejemplo 2:'' :::::: Arriba se demostró que 22=(10110)_2 es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] horrible, y además 52=(110100)_2 también es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] horrible: ::::::: 22_{10} \oplus 52_{10} = (10110)_2 + (110100)_2 = (100010)_2 :::::: El resultado tiene un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] par de unos, por lo que es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] malo. ::::: ''Ejemplo 3:'' :::::: Arriba se demostró que 51 es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] malvado y 52 es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] horrible: ::::::: 51_{10} \oplus 52_{10} = (110011)_2 + (110100)_2 = (000111)_2 :::::: El resultado tiene un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] impar de unos, por lo que es un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] espantoso.
* Se conocen algunos números que son iguales a la suma de sus horribles divisores. Estos son: :: 28, 496, 8128, 415800, 2096128, 33550336, 8589869056 ( : Excepto 415800 y 2096128, todos estos números son números perfectos. Se podrían llamar a los números anteriores '''números odiosos-perfectos'''.Neil Sloane: [https://oeis.org/A212302 A212302: Números k cuya suma de divisores odiosos propios (A000069 ) es igual a k.], en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras ::: ''Ejemplo:'' :::: La representación binaria del horrible [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] n=28 es: ::::: n=28=16+8+4+0+0=1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(11100)_2 :::: El [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] n=28 tiene los siguientes divisores: d_1=1=(1)_2, d_2=2=(10)_2, d_3=4=(100)_2 , d_4=7=(111)_2, d_5=14=(1110)_2. Todos los divisores tienen un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] impar de unos en su representación binaria, por lo que todos los divisores son números horribles. Entonces, el horrible [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] n=28 solo tiene horribles divisores que suman 28.
* Si omites el último dígito (es decir, el último bit) de la representación binaria de los horribles números, obtienes el conjunto de números naturales, es decir, 0, 1, 2, 3, ...Neil Sloane: [https://oeis.org/A001969 Secuencia A001969: Números malvados: enteros no negativos con un [url=viewtopic.php?t=2817]número[/url] par de unos en su expansión binaria], en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras
* El conjunto de los números enteros no negativos se puede dividir de forma única en el conjunto de los números malvados y el conjunto de los números viles. Estos tienen múltiples conjuntos iguales de sumas por pares.
* En informática, los números desagradables tienen una paridad impar.
== Literatura == *
* * [https://www.numbersaplenty.com/set/odious_number/ números odiosos] en ''Numbers Aplenty''
Categoría:Conjunto de números enteros Categoría:Teoría de números [/h4]
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== ¿Qué es? ==
Los '''números ojojo''' son un número pequeño y su recíproco, que es un número grande. Fueron creados por el googólogo japonés Aeton (2013) y la versión actual es 1.1.
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