Teorema de schinzel ⇐ Proyectos de artículos

[Anonymous]

El teorema de Schinzel pertenece a la teoría de números geométricos y dice lo siguiente:

:Para cada número natural n hay un círculo en el plano (plano (matemáticas)) que está dividido exactamente por puntos de la cuadrícula (cuadrícula (matemáticas)) exactamente n con coordenadas enteras. Estos círculos tienen la siguiente círculo#ecuaciones|ecuación de coordenadas:
::\left( x-\frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \cdot 5^{k-1} \quad incluso para n con n=2k
::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{2k} \quad para impar n con n=2k+1
Los círculos obtenidos de esta forma se denominan '''Schinzel Circles''' (en inglés ''Schinzel Circle'').

Este teorema (matemáticas) fue demostrado por el matemático polaco Andrzej Schinzel en 1958.

== Prueba ==
Schinzel demostró este teorema de la siguiente manera:

* Sea n un número par, es decir, n=2k. Entonces el círculo que pasa por exactamente n puntos con coordenadas enteras tiene la siguiente ecuación de coordenadas círculo#ecuaciones|:
::\left( x-\frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \cdot 5^{k-1}< br /> :Este círculo tiene centro M (\frac{1}{2} / 0) y radio r=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{5^{ k- 1.

:Si multiplicas la ecuación circular anterior por 4, obtienes una ecuación circular equivalente:
::(2x-1)^2 + (2y)^2 = 5^{k-1}
:En esta ecuación circular, 5^{k-1} se representa como la suma de dos cuadrados, donde (2x-1)^2 es el cuadrado de un número impar. el número 2x- 1 es ciertamente impar y (2y)^2 como cuadrado de un número par 2y es ciertamente par. Hay exactamente 4k formas de representar 5^{k-1} como la suma de dos cuadrados, debido a la simetría, la mitad de ellos están en la forma par-impar.

Ejemplos

::''Ejemplo 1'': ''(ver también gráfico a la derecha)''
:::Sea k=2. Luego obtenemos las siguientes \frac{4k}{2}=\frac{8}{2}=4 formas de obtener el número 5^{k-1}=5^1 = 5 para ser representado en la forma par-impar:
:::(\pm 1)^2 + (\pm 2)^2 = 5^1, entonces obtenemos 2x-1= \pm 1 y 2y= \pm 2. Si transformas 2x-1= \pm 1, obtienes x_1=1, x_2=0 y si transformas 2y= \pm 2 , obtienes y_1=1, y_2=-1. Esto da como resultado los cuatro puntos P_1(1/1), P_2(1/-1), P_3(0/1), P_4(0/-1), que tienen coordenadas enteras y a través de los cuales el círculo de Schinzel con n=2k=4 funciona.

::''Ejemplo 2'':
:::Sea k=3. Luego obtenemos las siguientes \frac{4k}{2}=\frac{12}{2}=6 formas de obtener el número 5^{k-1}=5^2 = 25 para ser representado en la forma par-impar:
:::: ''Caso 1'': (\pm 3)^2 + (\pm 4)^2 = 25, entonces obtenemos 2x-1= \pm 3< /matemáticas> y 2y= \pm 4. Si transformas 2x-1= \pm 3, obtienes x_1=2, x_2=-1 y si transformas 2y= \pm 4, obtienes y_1=2, y_2=-2.
:::::Esto da como resultado los cuatro puntos P_1(2/2), P_2(2/-2), P_3(-1/2), P_4(-1/-2), que tienen coordenadas enteras y por las que pasa el círculo de Schinzel.
:::: ''Caso 2'': (\pm 5)^2 + (\pm 0)^2 = 25, entonces obtenemos 2x-1= \pm 5< /math> y 2y=0. Si transformas 2x-1= \pm 5, obtienes x_1=3, x_2=-2 y si transformas 2y= 0, entonces obtienes y_1=y_2=0.
:::::Esto da como resultado los otros dos puntos P_5(3/0), P_6(-2/0), que tienen coordenadas enteras y por los cuales pasa el círculo de Schinzel.
::: En total obtienes los 6 puntos que buscas con coordenadas enteras por las que pasa el círculo de Schinzel con n=2k=6.






* Sea n un número impar, es decir, n=2k+1. Entonces el círculo que pasa por exactamente n puntos con coordenadas enteras tiene la siguiente ecuación de coordenadas círculo#ecuaciones|:
::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{2k}
:Este círculo tiene centro M (\frac{1}{3} / 0) y radio r=\frac{1}{3} \cdot 5^k.

:Si multiplicas la ecuación circular anterior por 9, obtienes una ecuación circular equivalente:
::(3x-1)^2 + (3y)^2 = 5^{2k}
:En esta ecuación circular, 5^{2k} se representa como la suma de dos cuadrados.

Ejemplo

::''Ejemplo'':
:::Sea k=2. Luego obtenemos las siguientes formas de representar el número 5^{2k}=5^4=625:
:::: ''Caso 1'': (\pm 7)^2 + (\pm 24)^2 = 625, entonces obtenemos 3x-1= \pm 7< /matemáticas> y 3y= \pm 24. Si transformas 3x-1= \pm 7, obtienes x_1=\frac{8}{3}, x_2=-2 y formas 3y = \pm 24, obtienes y_1=8, y_2=-8.
:::::Esto da como resultado dos puntos P_1(-2/8), P_2(-2/-8), que tienen coordenadas enteras y a través de los cuales pasa el círculo de Schinzel.
:::: ''Caso 2'': (\pm 24)^2 + (\pm 7)^2 = 625, entonces obtenemos 3x-1= \pm 24< /matemáticas> y 3y= \pm 7. Si transformas 3x-1= \pm 24, obtienes x_1=\frac{25}{3}, x_2=-\frac{23}{3} y si formas 3y= \pm 7, obtienes y_1=\frac{7}{3}, y_2=-\frac{7}{3}.< br /> :::::Por lo tanto no existen puntos que tengan coordenadas enteras y por los que pase el círculo de Schinzel.
:::: ''Caso 3'': (\pm 15)^2 + (\pm 20)^2 = 625, entonces obtenemos 3x-1= \pm 15< /matemáticas> y 3y= \pm 20. Si transformas 3x-1= \pm 15, obtienes x_1=\frac{16}{3}, x_2=-\frac{14}{3} y si formas 3y= \pm 20, obtienes y_1=\frac{20}{3}, y_2=-\frac{20}{3}.< br /> :::::Por lo tanto no existen puntos que tengan coordenadas enteras y por los que pase el círculo de Schinzel.
:::: ''Caso 4'': (\pm 20)^2 + (\pm 15)^2 = 625, entonces obtenemos 3x-1= \pm 20< /matemáticas> y 3y= \pm 15. Si transformas 3x-1= \pm 20, obtienes x_1=7, x_2=-\frac{19}{3} y formas 3y = \pm 15, obtienes y_1=5, y_2=-5.
:::::Esto da como resultado dos puntos P_3(7/5), P_4(7/-5), que tienen coordenadas enteras y a través de los cuales pasa el círculo de Schinzel.
:::: ''Caso 5'': (\pm 25)^2 + (\pm 0)^2 = 625, entonces obtenemos 3x-1= \pm 25< /math> y 3y=0. Si transformas 3x-1= \pm 25, obtienes x_1=\frac{26}{3}, x_2=-8 y formas 3y = 0, obtienes y_1=y_2=0.
:::::Esto da como resultado solo un punto más P_5(-8/0), que tiene coordenadas enteras y a través del cual pasa el círculo de Schinzel.
:::: ''Caso 6'': (\pm 0)^2 + (\pm 25)^2 = 625, por lo que obtenemos 3x-1= 0 y 3y= \pm 25. Si transformas 3x-1=0, obtienes x_1=x_2=\frac{1}{3} y ciertamente no obtienes coordenadas enteras.
::: En total obtienes los 5 puntos que buscas con coordenadas enteras (P_1(-2/8), P_2(-2/-8), P_3(7/5), P_4(7/- 5), P_5(-8/0)), por donde pasa el círculo de Schinzel con n=2k+1=5.






== Propiedades ==
Los círculos que Schinzel creó usando el método anterior no son necesariamente los círculos más pequeños posibles que pasan por el número dado de puntos enteros.

Ejemplo

:''Ejemplo'':
::* Sea n=2 \cdot 4+1=9. Entonces k=4 y el círculo de Schinzel tiene la siguiente representación:
:::::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{8} \quad con centro M (\frac{1}{3}/ 0) y radio r=\frac{1}{3} \cdot 5^4=\frac{625} {3} \aproximadamente 208,33
::: Es 0^2+625^2=175^2+600^2=220^2+585^2=336^2+527^2=375^3+500^2=625^ 2
::: Usando el método anterior obtienes los siguientes puntos (con coordenadas enteras) por los cuales pasa el círculo de Schinzel con n=2 \cdot 4+1=9. Son simétricos con respecto al eje x:
:::: P_1 ( -208 / 0 ), P_2 ( -73 / 195 ), P_3 ( -73 / -195 ), P_4 ( -58 / 200 ), P_5 ( -58 / -200 ), P_6 (167/125), P_7 (167/-125), P_8 (176/112), P_9 (176/-112)

::* Pero hay un círculo más pequeño que pasa por 9 puntos con coordenadas enteras y tiene el mismo centro M (\frac{1}{3}/ 0):
::::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 65^2 \quad con Punto central M (\frac{1}{3}/ 0) y radio r=\frac{1}{3} \cdot 65=\frac{65}{3} \ aproximadamente 21,67
:::Este círculo pasa por los siguientes 9 puntos con coordenadas enteras, que también son simétricas con respecto al eje x:
:::: P_1 ( -17 / 13 ), P_2 ( -17 / -13 ), P_3 ( -8 / 20 ), P_4 ( -8 / -20 ), P_5 ( -5 / 21 ), P_6 ( -5 / -21 ), P_7 ( 19 / 11 ), P_8 ( 19 / -11 ), P_9 ( 22 / 0 )

::* El círculo más pequeño real que pasa por 9 puntos con coordenadas enteras es el siguiente:Ed Pegg Jr.: [https://demonstrations.wolfram.com/LatticeCircles/ '' Lattice Circles' '], marzo de 2011
::::\left( x-\frac{1}{6} \right)^2 + \left( y-\frac{1}{6} \right)^2 = \frac{4225} {18} \quad con centro M (\frac{1}{6}/ \frac{1}{6}) y radio r=\sqrt{\frac {4225}{18=\frac{65}{3 \cdot \sqrt{2=\frac{65}{6} \cdot \sqrt{2} \aprox 15,32
:::Este círculo pasa por los siguientes 9 puntos con coordenadas enteras que no son simétricas con respecto al eje x:
::::P_1 ( -15 / -2 ), P_2 ( -14 / 6 ), P_3 ( -13 / 8 ), P_4 ( -2 / -15 ), P_5 ( 4 / 15 ), P_6 ( 6/-14), P_7 (8/-13), P_8 (11/11), P_9 (15/4)






== Comparación de círculos de Schinzel – círculos más pequeños posibles ==
La siguiente tabla muestra los círculos de Schinzel calculados usando la fórmula anterior para 4 \leq n \leq 12 y los compara con los círculos más pequeños reales que pasan por n puntos con coordenadas enteras. :

Como puedes ver, para n=6 y n=10 el círculo de Schinzel es en realidad el círculo más pequeño posible. Para n=9 y n=11 el círculo de Schinzel es muchas veces más grande que el círculo más pequeño posible con n puntos con coordenadas enteras.< br />
* * * * Ed Pegg Jr.: [https://demonstrations.wolfram.com/LatticeCircles/ ''Lattice Circles''], marzo de 2011



Categoría:Geometría circular
Categoría:Teorema (geometría plana)|Tales, teorema de

More details: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Schinzel