El teorema sobre la suma de dos cuadrados es un teorema matemático (teorema (matemáticas)) de la teoría de números. Se trata de la descomposición en números primos de cualquier número entero|entero n>1 y si se puede escribir como la suma de dos cuadrados de modo que n=a^2+b^2 con a, b \in \mathbb Z se aplica.
: Un entero positivo n>1 se puede representar como la suma de dos cuadrados si y sólo si su factorización prima no contiene un factor p^k, donde el número primo p \ equiv 3 \pmod {4} y k es un número impar|paridad (matemáticas).
Si escribes un número como la suma de dos cuadrados, está permitido que uno de los cuadrados sea cero o que ambos sumandos sean iguales. Esto significa que los números cuadrados y los números cuadrados dobles también se incluyen en este conjunto de números. Este teorema es una suma o generalización del teorema de los dos cuadrados de Pierre de Fermat (que establece cuándo un número primo se puede escribir como la suma de dos cuadrados) extendiendo este teorema de los cuadrados con números compuestos.
Un número puede tener múltiples representaciones como suma de dos cuadrados. El número de estas sumas da la función de suma de cuadrados. Por ejemplo, cada triple pitagórica|Triple pitagórica a^2+b^2=c^2 para c^2 también tiene una segunda representación c^2= c ^2+0^2.
== Ejemplos ==
* La factorización prima del número 2450=2 \cdot 5^2 \cdot 7^2. De los factores primos de este número, es decir, 2, 5 y 7, sólo 7 \equiv 3 \pmod{4}< / math> (los números primos 2 y 5 no son, por lo tanto, “problemáticos” porque ambos son \not\equiv 3 \pmod{4} ). Pero como 7 tiene el número par 2 como exponente|potencia (matemáticas), es decir, no es impar, el número 2450 cumple los requisitos del teorema Prerrequisitos y por lo tanto 2450 tiene al menos una representación como suma de dos cuadrados, en particular la siguiente: 2450=7^2+49^2.
* Es 3430=2 \cdot 5 \cdot 7^3. Es a la vez 2 \not\equiv 3 \pmod{4} y 5 \not\equiv 3 \pmod{4}. El problema es que 7 \equiv 3 \pmod{4} y su exponente 3 es un número impar. Por lo tanto, 3430 no se puede representar como la suma de dos cuadrados.
* Es 49=7^2. Debido a que 7 \equiv 3 \pmod{4}, pero el exponente es un número par, 49 se puede representar como la suma de dos cuadrados. De hecho, sólo existe la representación (trivial) 49=0^2+7^2.
* Es 98=2 \cdot 7^2 el doble de un número cuadrado. En este caso sólo existe la representación (más o menos trivial) 98=7^2+7^2.
* Es 338=2 \cdot 13^2 también el doble de un número cuadrado. Es a la vez 2 y 13 \not\equiv 3 \pmod{4}. Esto le da la representación (en realidad bastante trivial) 338=13^2+13^2, pero también existe la representación 338=7^2+17^2.
* El número primo p=41 \equiv 1 \pmod{4}. Debido a este teorema y al teorema de los dos cuadrados, tiene una representación como la suma de dos números cuadrados, a saber, 41=4^2+5^2.
* El número primo p=43 \equiv 3 \pmod{4}. Debido a este teorema y al teorema de los dos cuadrados, no tiene representación como suma de dos números cuadrados.
* Es 18564650=2 \cdot 5^2 \cdot 13^5. Es tanto 2 como 5 así como 13 \not\equiv 3 \pmod{4}, por lo que este número tiene una representación como suma de dos cuadrados. Desafortunadamente, el teorema no especifica qué números cuadrados son adecuados.
* Los siguientes números se pueden representar como la suma de dos cuadrados:
:: 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32,… (
== Propiedades ==
Aquellos números que se pueden representar como la suma de dos cuadrados ahora se denominan "números representables" como definición práctica. Se aplica lo siguiente:
* El conjunto de números que se pueden representar corresponde al conjunto de todas las normas (extensión del cuerpo)|normas del número gaussiano|Número gaussiano g = a + b {\mathrm i} con a , b \in \mathbb Z.
* Las raíces cuadradas de los números que se pueden representar forman el conjunto de todas las distancias (geometría) | distancias entre pares de puntos en la cuadrícula de enteros bidimensional.
:: ''Idea de evidencia:''
::: La distancia d entre dos puntos con coordenadas enteras A (a_1 / a_2) y B (b_1 / b_2) (es decir, la distancia entre el par de puntos (A,B) en la cuadrícula de enteros bidimensional) se calcula usando el teorema de Pitágoras|Teorema de Pitágoras:
:::: d=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}
::: Si x=(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2 es un número representable, entonces d=\sqrt{x} es cuadrado raíz de este número representable. (ver espaciado) \Box
* Sea B(n) el número de números representables entre 0 y n. Entonces se aplica lo siguiente:
:: B(n) \approx K \cdot \frac{n}{\sqrt{\log n para n \rightarrow \infty con la constante de Landau-Ramanujan < matemáticas>K = 0{,}7642236535892206...
* El producto de dos números representables m, n es un número representable x. Su representación puede derivarse de representaciones de sus dos factores utilizando la identidad Brahmagupta:
:: m \cdot n = (a_m^2+b_m^2) \cdot (a_n^2+b_n^2) = (a_m a_n + b_m b_n)^2 + (a_m b_n - b_m a_n)^2 = (a_m a_n - b_m b_n)^2 + (a_m b_n + b_m a_n)^2
::: ''Ejemplo:''
:::: Sea m=49 y n=338. Entonces se aplica lo siguiente:
::::: m \cdot n=49 \cdot 338 = 16562 = (0^2 + 7^2) \cdot (7^2 + 17^2) = (0 \cdot 7 + 7 \cdot 17)^2 \cdot (0 \cdot 17 + 7 \cdot 7)^2 = (0 + 119)^2 + (0 - 49)^2 = (0 - 119)^2 + (0 + 49)^ 2 = 119^2+49^2
:::: Pero hay otra representación, concretamente 16562 = 91^2+91^2, que no se puede obtener con esta fórmula.
== Teorema de los dos cuadrados de Jacobi ==
Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi descubrió la siguiente frase en el siglo XIX:
: Sea k(n) el número de representaciones de n como suma de dos cuadrados. Además, sea t_1 el número de divisores de n que son congruentes con 1 módulo 4. Sea también t_3 el número de divisores de n que son congruentes con 3 módulo 4. Entonces se aplica lo siguiente:
:: k(n)=4 \cdot |t_1-t_3|, donde |..| significa la función de cantidad|cantidad del número entre las barras de cantidad.< br /> : En otras palabras:
:: El número de representaciones de n como suma de dos cuadrados es cuatro veces la diferencia entre el número de divisores de n que son congruentes con 1 módulo 4 y el número de divisores de n que son congruentes a 3 módulo 4 son congruentes.
Michael Hirschhorn|Hirschhorn ofrece una breve prueba derivada del triple producto de Jacobi.
: ''Ejemplo 1:''
:: Sea 338=2 \cdot 13^2. El número 338 tiene el divisor \{ 1,2,13,26,169,338 \}. Los números en el conjunto \{1,13,169\} son congruentes con 1 módulo 4, por lo que es t_1=3. Los otros divisores son congruentes con 2 módulo 4, ningún divisor es congruente con 3 módulo 4, por lo que es t_3=0. Por lo tanto k(n)=4 \cdot |3-0|= 4 \cdot 3 = 12, entonces hay un total de 12 representaciones de 338< / math> como la suma de dos cuadrados:
::: 338 = (\pm 7)^2 + (\pm 17)^2 \quad ... un total de 4 variantes
::: 338 = (\pm 13)^2 + (\pm 13)^2 \quad ... un total de 4 variantes
::: 338 = (\pm 17)^2 + (\pm 7)^2 \quad ... un total de 4 variantes
:: Como puede ver, las 12 variantes se reducen a las dos representaciones 338 = 7^2 + 17^2 = 13^2 + 13^2.
: ''Ejemplo 2:''
:: Sea 5929=7^2 \cdot 11^2. El número 5929 tiene el divisor \{ 1,7,11,49,77,121,539,847,5929 \} y consta de 9 elementos. Los números son el conjunto \{ 1,49,77,121,5929 \} congruente con 1 módulo 4, por lo que es t_1=5. Los otros 4 divisores son congruentes con 3 módulo 4, por lo que es t_3=4. Por lo tanto k(n)=4 \cdot |5-4|= 4 \cdot 1 = 4, entonces hay un total de 4 representaciones de 5929< / math> como la suma de dos cuadrados:
::: 5929 = (\pm 77)^2 + (\pm 0)^2 \quad ... un total de 2 variantes
::: 338 = (\pm 0)^2 + (\pm 77)^2 \quad ... un total de 2 variantes
:: Como puedes ver, las 4 variantes dan como resultado la representación 5929 = 0^2 + 77^2.
: ''Ejemplo 3:''
:: Sea 29645=5 \cdot 7^2 \cdot 11^2. El número 29645 tiene el divisor \{ 1,5,7,11,35,49,55,77,121,245,385,539,605,847,2695,4235,5929,29645 \} y consta de 18 elementos. Los números son el conjunto \{ 1,5,49,77,121,245,385,605,5929,29645 \} congruente a 1 módulo 4, por lo que es t_1=10. Los otros 8 divisores son congruentes con 3 módulo 4, por lo que es t_3=8. Por lo tanto k(n)=4 \cdot |10-8|= 4 \cdot 2 = 8, entonces hay un total de 8 representaciones de 29645< / math> como la suma de dos cuadrados:
::: 29645 = (\pm 77)^2 + (\pm 154)^2 \quad ... un total de 4 variantes
::: 29645 = (\pm 154)^2 + (\pm 77)^2 \quad ... un total de 4 variantes
:: Como puede ver, las 8 variantes dan como resultado la representación 29645 = 77^2 + 154^2.
== Ver también ==
* Conjunto de tres cuadrados
* Conjunto de cuatro cuadrados
*Función de suma de cuadrados
* Identidad Brahmagupta
Categoría:Conjunto de números enteros
Categoría:Teoría de números
Categoría:Teorema (teoría de números)
[h4] El teorema sobre la suma de dos cuadrados es un teorema matemático (teorema (matemáticas)) de la teoría de números. Se trata de la descomposición en [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] primos de cualquier número entero|entero n>1 y si se puede escribir como la suma de dos cuadrados de modo que n=a^2+b^2 con a, b \in \mathbb Z se aplica.
: Un entero positivo n>1 se puede representar como la suma de dos cuadrados si y sólo si su factorización prima no contiene un factor p^k, donde el número primo p \ equiv 3 \pmod {4} y k es un número impar|paridad (matemáticas).
Si escribes un número como la suma de dos cuadrados, está permitido que uno de los cuadrados sea cero o que ambos sumandos sean iguales. Esto significa que los [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] cuadrados y los [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] cuadrados dobles también se incluyen en este conjunto de números. Este teorema es una suma o generalización del teorema de los dos cuadrados de Pierre de Fermat (que establece cuándo un número primo se puede escribir como la suma de dos cuadrados) extendiendo este teorema de los cuadrados con [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] compuestos.
Un número puede tener múltiples representaciones como suma de dos cuadrados. El número de estas sumas da la función de suma de cuadrados. Por ejemplo, cada triple pitagórica|Triple pitagórica a^2+b^2=c^2 para c^2 también tiene una segunda representación c^2= c ^2+0^2.
== Ejemplos == * La factorización prima del número 2450=2 \cdot 5^2 \cdot 7^2. De los factores primos de este número, es decir, 2, 5 y 7, sólo 7 \equiv 3 \pmod{4}< / math> (los [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] primos 2 y 5 no son, por lo tanto, “problemáticos” porque ambos son \not\equiv 3 \pmod{4} ). Pero como 7 tiene el número par 2 como exponente|potencia (matemáticas), es decir, no es impar, el número 2450 cumple los requisitos del teorema Prerrequisitos y por lo tanto 2450 tiene al menos una representación como suma de dos cuadrados, en particular la siguiente: 2450=7^2+49^2.
* Es 3430=2 \cdot 5 \cdot 7^3. Es a la vez 2 \not\equiv 3 \pmod{4} y 5 \not\equiv 3 \pmod{4}. El problema es que 7 \equiv 3 \pmod{4} y su exponente 3 es un número impar. Por lo tanto, 3430 no se puede representar como la suma de dos cuadrados.
* Es 49=7^2. Debido a que 7 \equiv 3 \pmod{4}, pero el exponente es un número par, 49 se puede representar como la suma de dos cuadrados. De hecho, sólo existe la representación (trivial) 49=0^2+7^2.
* Es 98=2 \cdot 7^2 el doble de un número cuadrado. En este caso sólo existe la representación (más o menos trivial) 98=7^2+7^2.
* Es 338=2 \cdot 13^2 también el doble de un número cuadrado. Es a la vez 2 y 13 \not\equiv 3 \pmod{4}. Esto le da la representación (en realidad bastante trivial) 338=13^2+13^2, pero también existe la representación 338=7^2+17^2.
* El número primo p=41 \equiv 1 \pmod{4}. Debido a este teorema y al teorema de los dos cuadrados, tiene una representación como la suma de dos [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] cuadrados, a saber, 41=4^2+5^2.
* El número primo p=43 \equiv 3 \pmod{4}. Debido a este teorema y al teorema de los dos cuadrados, no tiene representación como suma de dos [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] cuadrados.
* Es 18564650=2 \cdot 5^2 \cdot 13^5. Es tanto 2 como 5 así como 13 \not\equiv 3 \pmod{4}, por lo que este número tiene una representación como suma de dos cuadrados. Desafortunadamente, el teorema no especifica qué [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] cuadrados son adecuados.
* Los siguientes [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] se pueden representar como la suma de dos cuadrados: :: 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32,… ( == Propiedades == Aquellos [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] que se pueden representar como la suma de dos cuadrados ahora se denominan "números representables" como definición práctica. Se aplica lo siguiente:
* El conjunto de [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] que se pueden representar corresponde al conjunto de todas las normas (extensión del cuerpo)|normas del número gaussiano|Número gaussiano g = a + b {\mathrm i} con a , b \in \mathbb Z. * Las raíces cuadradas de los [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] que se pueden representar forman el conjunto de todas las distancias (geometría) | distancias entre pares de puntos en la cuadrícula de enteros bidimensional. :: ''Idea de evidencia:'' ::: La distancia d entre dos puntos con coordenadas enteras A (a_1 / a_2) y B (b_1 / b_2) (es decir, la distancia entre el par de puntos (A,B) en la cuadrícula de enteros bidimensional) se calcula usando el teorema de Pitágoras|Teorema de Pitágoras: :::: d=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2} ::: Si x=(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2 es un número representable, entonces d=\sqrt{x} es cuadrado raíz de este número representable. (ver espaciado) \Box
* Sea B(n) el número de [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] representables entre 0 y n. Entonces se aplica lo siguiente: :: B(n) \approx K \cdot \frac{n}{\sqrt{\log n para n \rightarrow \infty con la constante de Landau-Ramanujan < matemáticas>K = 0{,}7642236535892206...
* El producto de dos [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] representables m, n es un número representable x. Su representación puede derivarse de representaciones de sus dos factores utilizando la identidad Brahmagupta: :: m \cdot n = (a_m^2+b_m^2) \cdot (a_n^2+b_n^2) = (a_m a_n + b_m b_n)^2 + (a_m b_n - b_m a_n)^2 = (a_m a_n - b_m b_n)^2 + (a_m b_n + b_m a_n)^2 ::: ''Ejemplo:'' :::: Sea m=49 y n=338. Entonces se aplica lo siguiente: ::::: m \cdot n=49 \cdot 338 = 16562 = (0^2 + 7^2) \cdot (7^2 + 17^2) = (0 \cdot 7 + 7 \cdot 17)^2 \cdot (0 \cdot 17 + 7 \cdot 7)^2 = (0 + 119)^2 + (0 - 49)^2 = (0 - 119)^2 + (0 + 49)^ 2 = 119^2+49^2 :::: Pero hay otra representación, concretamente 16562 = 91^2+91^2, que no se puede obtener con esta fórmula.
== Teorema de los dos cuadrados de Jacobi == Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi descubrió la siguiente frase en el siglo XIX: : Sea k(n) el número de representaciones de n como suma de dos cuadrados. Además, sea t_1 el número de divisores de n que son congruentes con 1 módulo 4. Sea también t_3 el número de divisores de n que son congruentes con 3 módulo 4. Entonces se aplica lo siguiente: :: k(n)=4 \cdot |t_1-t_3|, donde |..| significa la función de cantidad|cantidad del número entre las barras de cantidad.< br /> : En otras palabras: :: El número de representaciones de n como suma de dos cuadrados es cuatro veces la diferencia entre el número de divisores de n que son congruentes con 1 módulo 4 y el número de divisores de n que son congruentes a 3 módulo 4 son congruentes.
Michael Hirschhorn|Hirschhorn ofrece una breve prueba derivada del triple producto de Jacobi.
: ''Ejemplo 1:'' :: Sea 338=2 \cdot 13^2. El número 338 tiene el divisor \{ 1,2,13,26,169,338 \}. Los [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] en el conjunto \{1,13,169\} son congruentes con 1 módulo 4, por lo que es t_1=3. Los otros divisores son congruentes con 2 módulo 4, ningún divisor es congruente con 3 módulo 4, por lo que es t_3=0. Por lo tanto k(n)=4 \cdot |3-0|= 4 \cdot 3 = 12, entonces hay un total de 12 representaciones de 338< / math> como la suma de dos cuadrados: ::: 338 = (\pm 7)^2 + (\pm 17)^2 \quad ... un total de 4 variantes ::: 338 = (\pm 13)^2 + (\pm 13)^2 \quad ... un total de 4 variantes ::: 338 = (\pm 17)^2 + (\pm 7)^2 \quad ... un total de 4 variantes :: Como puede ver, las 12 variantes se reducen a las dos representaciones 338 = 7^2 + 17^2 = 13^2 + 13^2.
: ''Ejemplo 2:'' :: Sea 5929=7^2 \cdot 11^2. El número 5929 tiene el divisor \{ 1,7,11,49,77,121,539,847,5929 \} y consta de 9 elementos. Los [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] son el conjunto \{ 1,49,77,121,5929 \} congruente con 1 módulo 4, por lo que es t_1=5. Los otros 4 divisores son congruentes con 3 módulo 4, por lo que es t_3=4. Por lo tanto k(n)=4 \cdot |5-4|= 4 \cdot 1 = 4, entonces hay un total de 4 representaciones de 5929< / math> como la suma de dos cuadrados: ::: 5929 = (\pm 77)^2 + (\pm 0)^2 \quad ... un total de 2 variantes ::: 338 = (\pm 0)^2 + (\pm 77)^2 \quad ... un total de 2 variantes :: Como puedes ver, las 4 variantes dan como resultado la representación 5929 = 0^2 + 77^2.
: ''Ejemplo 3:'' :: Sea 29645=5 \cdot 7^2 \cdot 11^2. El número 29645 tiene el divisor \{ 1,5,7,11,35,49,55,77,121,245,385,539,605,847,2695,4235,5929,29645 \} y consta de 18 elementos. Los [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] son el conjunto \{ 1,5,49,77,121,245,385,605,5929,29645 \} congruente a 1 módulo 4, por lo que es t_1=10. Los otros 8 divisores son congruentes con 3 módulo 4, por lo que es t_3=8. Por lo tanto k(n)=4 \cdot |10-8|= 4 \cdot 2 = 8, entonces hay un total de 8 representaciones de 29645< / math> como la suma de dos cuadrados: ::: 29645 = (\pm 77)^2 + (\pm 154)^2 \quad ... un total de 4 variantes ::: 29645 = (\pm 154)^2 + (\pm 77)^2 \quad ... un total de 4 variantes :: Como puede ver, las 8 variantes dan como resultado la representación 29645 = 77^2 + 154^2.
== Ver también == * Conjunto de tres cuadrados * Conjunto de cuatro cuadrados *Función de suma de cuadrados * Identidad Brahmagupta
Categoría:Conjunto de [url=viewtopic.php?t=12753]números[/url] enteros Categoría:Teoría de números Categoría:Teorema (teoría de números) [/h4]
More details: [url]https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_die_Summe_zweier_Quadrate[/url]
Oldersum es un pueblo de la región de Frisia Oriental, en Baja Sajonia, Alemania. Administrativamente es un Ortsteil del municipio de Moormerland. Situado en la orilla norte del estuario de Ems (Ems...
'''Del mercader y los dos ladrones''' es una historia de Las mil y una noches. Es una historia internaEnno Littmann: ''Los cuentos de las mil y una noches'', Karl Insel Verlag, Frankfurt 1968,...
'''''La Noche de las Dos Lunas''''' ''(''
== Trama ==
En su tercer mes de embarazo, Federica descubre que el bebé que espera no tiene su ADN. Cuando acude a la clínica donde se realizó su tratamiento...
'''Manuel Francisco dos Anjos Ferreira''', también conocido como '''Manuel dos Anjos Ferreira''' o '''Manuel Balaio''' (1784-1841), era una canasta de paja (o balaio, cesta) Hacedor que se convirtió...
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