Espacio de clasificación de SO (n) ⇐ Proyectos de artículos

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El '''espacio de clasificación|espacio de clasificación''' \operatorname{BSO}(n) '''el grupo ortogonal especial|grupo de Lie ortogonal especial''' \ operatorname {SO}(n) es el espacio base del haz de fibras principal universal|universal \operatorname{SO}(n)-haz de fibras principal|haz de fibras principal \operatorname {ESO}(n)\ rightarrow\operatorname{BSO}(n). Esto significa que los haces de fibras principales \operatorname{SO}(n) sobre un complejo CW están en biyección con la clase de homotopía|clases de homotopía de su función continua|mapeos continuos en \operatorname{BSO }( n) soporte. La biyección está dada por el haz de fibras retraído|haz de fibras principal retraído.

== Definición ==
Hay una inclusión canónica de variedades de Graßmann orientadas reales|variedades de Grassmann dadas por \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k)\hookrightarrow\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb {R }^{k+1}),
V\mapsto V\times\{0\}. Su límite directo es:Milnor & Stasheff 74, Sección 12.2 El paquete universal orientado en la página 151

: \nombredeloperador{BSO}(n)
:=\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^\infty)
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k).

Dado que las variedades de Graßmann orientadas reales se pueden expresar como espacios homogéneos mediante:

: \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k)
=\nombredeloperador{SO}(n+k)/(\nombredeloperador{SO}(n)\times\nombredeloperador{SO}(k))

La estructura del grupo se transfiere a \operatorname{BSO}(n).

== Espacio de clasificación más pequeño ==

* Es \operatorname{SO}(1)
\cong 1 es el grupo trivial y por lo tanto \operatorname{BSO}(1)
\cong\{*\} el espacio topológico trivial.

* Es \operatorname{SO}(2)
\cong\operatorname{U}(1) y por lo tanto \operatorname{BSO}(2)
\cong\nombreoperador{BU}(1)
\cong\mathbb{C}P^\infty el espacio proyectivo complejo infinito|espacio proyectivo complejo infinito.

== Clasificación de los principales haces de fibras ==
Para un espacio topológico|espacio topológico X sea \operatorname{Prin}_{\operatorname{SO}(n)}(X) el conjunto de \ nombre del operador {SO}(n)-haz de fibras principal en este hasta el isomorfismo. Si X es un complejo CW, entonces el mapeo es:

: [X,\operatorname{BSO}(n)]\rightarrow\operatorname{Prin}_{\operatorname{SO}(n)}(X),
[f]\mapsto f^*\operatorname{ESO}(n)

biyectivo.
== Anillo de cohomología ==
El anillo de cohomología de \operatorname{BSO}(n) con coeficientes en \mathbb{Z}_2 es generado por las clases Stiefel-Whitney|clases Boots–Whitney: < ref name=":9">Milnor & Stasheff, Teorema 12.4.Hatcher 02, Ejemplo 4D.6.

: H^*(\operatorname{BSO}(n);\mathbb{Z}_2)
=\mathbb{Z}_2[w_2,\ldots,w_n].

Este resultado se aplica de manera más general a todos los campos (álgebra)|campos con características (álgebra)|característica \operatorname{char}=2.

El anillo de cohomología de \operatorname{BSO}(n) con coeficientes en el campo \mathbb{Q} de los números racionales|números racionales está definido por las clases de Pontrjagin y la clase Euler crea:

: H^*(\operatorname{BSO}(2n);\mathbb{Q})
\cong\mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n,e]/(p_n-e^2),
: H^*(\operatorname{BSO}(2n+1);\mathbb{Q})
\cong\mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n].

Estos resultados se aplican de manera más general a todos los cuerpos con la característica \operatorname{char}\neq 2.

== Espacio de clasificación infinito ==
Las inclusiones canónicas \operatorname{SO}(n)\hookrightarrow\operatorname{SO}(n+1) inducen inclusiones canónicas \operatorname{BSO}(n)\hookrightarrow\operatorname{BSO }(n+1)en sus respectivos espacios de clasificación. Los límites directos de estas dos cadenas de inclusiones se dan cada uno como:

: \nombredeloperador{SO}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{SO}(n)
: \nombredeloperador{BSO}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{BSO}(n)

designada. \operatorname{BSO} es en realidad el espacio de clasificación de \operatorname{SO}.

== Ver también ==

* Clasificación del espacio de O(n)
* Clasificación del espacio de U(n)
* Clasificación del espacio de SU(n)

== Literatura ==

* * *

* nlab:clasificando+espacio|clasificando espacio en nLab (idioma español|inglés)
* nlab:BSO(n)|BSO(n) en nLab (inglés)



Categoría: Topología algebraica

More details: https://de.wikipedia.org/wiki/Klassifiz ... _von_SO(n)