Función de cresta ⇐ Proyectos de artículos

[Anonymous]

Una '''función cresta''' es una función multivariada f:\R^d\rightarrow\R que resulta de la composición de una función univariada g:\R \rightarrow\R con un mapeo afín|mapeo afín x^{\top} a + b : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} surge:

f(x) = g(x^{\top} a + b ), \quad para x\in\R^d.

Aquí g se denomina '''función de perfil''', a como '''vector de dirección''' y b como '''desplazamiento'''.

La traducción directa Gratfunktion o Kammfunktion no está establecida en alemán.

=== Ocurrencias ===

Las funciones de cresta desempeñan, entre otras cosas, un papel esencial en la búsqueda de proyecciones, modelos lineales generalizados y como funciones de activación en redes neuronales. Para explicaciones detalladas de las funciones de las crestas, consulte los libros de Pinkus e Ismailov.
== Propiedades ==

=== Representación ambigua ===

La representación de una función de cresta generalmente no es única. Para
\lambda \neq 0, define una función de perfil \tilde g(t) :=g(t/\lambda) así como el vector de dirección \tilde a := \lambda a y el desplazamiento \tilde b := \lambda b , que devuelve la misma función de cresta


g(a^\arriba x+b)
=
g \big( \tfrac{1}{\lambda} (\lambda a)^\top x+\lambda b \big) = \tilde g( { \tilde a}^\top x+ \tilde b) .


La unicidad se puede imponer normalizando a, p. a^{\top} a = 1 .

=== Descomposición en dirección y espacio ortogonal ===

Para a\neq 0, el espacio \mathbb R^n se puede descomponer en la dirección de a y el espacio ortogonal a él: \mathbb R^n = \operatorname{span}\{a\} \oplus \operatorname{span}\{ \psi_1, ..., \psi_{d-1} \} .

Una función de cresta solo cambia en la dirección de a. El valor permanece constante en todas las direcciones perpendiculares a a. Por lo tanto, sus conjuntos de niveles son hiperplanos paralelos, por lo que para a^{\top} a = 1 y x = \alpha \, se aplica a + \sum_{j=1}^{d-1} \beta_j \psi_{j}


f(x)=g(a^\top x+b) = g( \alpha +b),


Por lo tanto, sólo es necesario conocer la proporción en la dirección a.

=== Degradado ===

Si la función de perfil g es diferenciable, entonces la función de cresta también es diferenciable. Según la regla de la cadena


\nablaf(x)
=
g'(a^\arriba x+b)\,a .


Por tanto, el gradiente es un múltiplo escalar del vector director a en cada punto. Por lo tanto, la dirección del mayor cambio es siempre paralela a a.

=== Suavidad ===

La suavidad de una función de cresta se hereda de la función de perfil.

Si g\in C^k(\mathbb R) es para un k\in \mathbb N_0\cup\{\infty\}, entonces para f(x)=g(a^\top x+b) también f\in C^k(\mathbb R^n).

Esto se desprende de la regla de la cadena, ya que la figura


x\mapsto a^\top x+b


afín y por tanto suave. En particular, para las derivadas parciales se aplica lo siguiente:


\parcial^\alpha f(x)
=
g^{(|\alpha|)}(a^\top x+b)\,a^\alpha


para todos los multiíndices \alpha con |\alpha|\leq k.



Categoría:Matemáticas numéricas
Categoría:Álgebra lineal

More details: https://de.wikipedia.org/wiki/Ridge-Funktion