Campo vectorial hamiltoniano ⇐ Proyectos de artículos

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Un '''campo vectorial hamiltoniano''' está en las matemáticas|subcampo matemático de la geometría simpléctica|geometría simpléctica (a su vez un subcampo de la geometría diferencial) un campo vectorial especial#campos vectoriales en variedades|campo vectorial suave en un variedad simpléctica|variedad simpléctica, que con cuya forma simpléctica|forma simpléctica es compatible y se genera mediante un mapeo suave (llamado función de Hamilton) en ella.

== Definición ==
Para una variedad simpléctica (M,\omega) es un campo vectorial#campos vectoriales en variedades|campo vectorial suave X\in \mathfrak{X}(M), para donde existe una figura suave H\in C^\infty(M) con i_X\omega=\omega(X,-)=\mathrm dH, un campo vectorial hamiltoniano .Brylinski 2007, 2.3.2. Definición

Debido a la no degeneración de la forma simpléctica \omega, para campos vectoriales suaves X,Y\in \mathfrak{X}(M) sigue con \ omega(X,-) =\omega(Y,-), que incluso X=Y. Para una función de Hamilton H\in C^\infty(M) hay, por lo tanto, como máximo un campo vectorial hamiltoniano asociado X\in \mathfrak{X}(M), cual, si existe, también se indica como X_H. De hecho, la existencia es un hecho, como se puede demostrar usando una expresión explícita: Para cada punto x\in M existe un mapa lineal \varphi_x\colon T_xM\rightarrow T_x^*M ,\xi \mapsto\omega_x(\xi,-). Debido a la naturaleza no degenerada de la forma simpléctica \omega_x, esta función inyectiva es inyectiva, debido a las mismas dimensiones (matemáticas) del espacio tangente, tangente y cotangente, es incluso una función biyectiva. y debido a la suave dependencia de la forma simpléctica \omega_x desde el punto base x, estos juntos dan como resultado un homomorfismo de paquete de vectores (isomorfismo de paquete de vectores \varphi\) dos puntos TM\rightarrow T^*M,(x,\xi)\mapsto (x,\omega_x(\xi,-)). El campo vectorial hamiltoniano X_H\in \mathfrak{X}(M) de una función de Hamilton H\in C^\infty(M) se puede representar como:< br />
: X_H=\varphi^{-1}\circ\mathrm dH\colon M\rightarrow TM.

== Propiedades ==

* Los campos vectoriales hamiltonianos son campos vectoriales simplécticos|simplécticos. Para una función de Hamilton H\in C^\infty(M) sigue con la fórmula de Cartan y el cierre < math>\mathrm d\omega=0 de la forma simpléctica \omega:
*: \mathcal{L}_{X_H}\omega
=(\mathrm{d}i_{X_H}+i_{X_H}\mathrm d)\omega
=\mathrm{d}i_{X_H}\omega=\mathrm{d}^2H=0.
* Las combinaciones lineales de campos vectoriales hamiltonianos son campos vectoriales hamiltonianos. Para escalares a,b\in \mathbb {R} y funciones suaves G,H\in C^\infty(M) se aplica con la linealidad del diferencial de Cartan < math>\mathrm{d} y la bilinealidad de la forma simpléctica \omega:
*: \omega(X_{aG+bH},-)
=\mathrm{d}(aG+bH)
=a\mathrm{d}G+b\mathrm{d}H
=a\omega(X_G,-)
+b\omega(X_H,-)
=\omega(aX_G+bX_H,-),

: de donde se sigue X_{aG+bH}=aX_G+bX_H debido a la no degeneración de la forma simpléctica \omega.

* Para funciones suaves G,H\in C^\infty(M) se aplica con la regla del producto del diferencial de Cartan:
*: \omega(X_{GH},-)
=\mathrm d(GH)
=H\mathrm dG
+G\mathrm dH
+G\omega(X_H,-)
=H\omega(X_G,-)
=\omega(HX_G+GX_H,-),

: de donde se sigue X_{GH}=HX_G+GX_H debido a la no degeneración de la forma simpléctica \omega.

* Para un simplectomorfismo \phi\in\operatorname{Symp}(M) y una función suave H\in C^\infty(M) se aplica lo siguiente:McDuff & Salamon 1998, Proposición 3.6 (iii)
*: X_{H\circ\phi}
=\phi^*X_H.
* Los corchetes de mentira de los campos vectoriales hamiltonianos son campos vectoriales hamiltonianos. Para funciones suaves G,H\in C^\infty (M) se aplica lo siguiente:McDuff & Salamon 1998, Proposición 3.6 (iii)
*: [X_G,X_H]
=X_{\{G,H\.

== Álgebra de Lie de campos vectoriales hamiltonianos ==
Según los lemas, los campos vectoriales hamiltonianos en una variedad simpléctica (M,\omega) forman un espacio vectorial y con el corchete de Lie [-,-] incluso una Lie álgebra, anotada como \mathfrak{Ham}(M,\omega). Existen homomorfismos del álgebra de Lie:McDuff & Salamon 1998, página 87

: \mathfrak{Ham}(M,\omega)\hookrightarrow\mathfrak{Symp}(M,\omega),X\mapsto X
: C^\infty(M)\twoheadrightarrow\mathfrak{Ham}(M,\omega),H\mapsto X_H

== Conexión con la cohomología de De Rham ==

=== Conexión con la cohomología cero de Rham ===
Un espacio subvectorial especial del espacio vectorial C^\infty(M) de las funciones de Hamilton es la cohomología cero de Rham|Cohomología de De Rham H_\mathrm{dR}^0(M) :=\ker(\mathrm{d}\colon C^\infty(M)\rightarrow\Omega^1(M)) de la función localmente constante|localmente constantes (en cualquier espacio conectado#componente conectado| Constantes de componentes conectados) Funciones de Hamilton. Dado que en la definición del campo vectorial hamiltoniano de una función hamiltoniana sólo aparece su diferencial de Cartan, las funciones hamiltonianas localmente constantes se pueden agregar según se desee sin tener influencia en el campo vectorial hamiltoniano generado. Por lo tanto hay una secuencia exacta:Brylinski 2007, 2.3.8 Observación

: H_\mathrm{dR}^0(M)\hookrightarrow C^\infty(M,\omega)\rightarrow \mathfrak{Ham}(M,\omega).

De esto se deduce directamente que cada campo vectorial hamiltoniano es generado por una función de Hamilton única si y sólo si la cohomología cero de De Rham de la variedad simpléctica es trivial.

=== Conexión con la primera cohomología de De Rham ===
Por definición, para un campo vectorial simpléctico X, la forma 1 i_X\omega es cerrada y por lo tanto produce un elemento [i_X\ omega] \in H_\mathrm{dR}^1(M) de la primera cohomología de De Rham|Cohomología de De Rham. Debido a la bilinealidad de la forma simpléctica \omega, esta asignación es un mapeo lineal:

: \mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M),X\mapsto i_X\omega.

[i_X\omega]\in H_\mathrm{dR}^1(M) es el elemento neutro si y sólo si es un 1 exacto - La forma difiere, es decir cuando X es un campo vectorial hamiltoniano. Por lo tanto hay una secuencia exacta:Brylinski 2007, 2.3.3 Proposición

: \mathfrak{Ham}(M,\omega)\hookrightarrow\mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M).

De esto se sigue directamente que todo campo vectorial simpléctico es incluso un campo vectorial hamiltoniano si y sólo si la primera cohomología de De Rham de la variedad simpléctica es trivial.

== Aplicación en física ==
Los campos vectoriales hamiltonianos son cruciales para la formulación de la mecánica hamiltoniana porque sus flujos de un campo vectorial corren a lo largo de valores constantes de la función de Hamilton subyacente. Esto describe la ley de conservación de la energía de un movimiento mecánico en el espacio de fases. Para un punto x\in M, una función de Hamilton H\in C^\infty(M) es su flujo (local) \phi_H(x, - )\colon I\rightarrow M con un intervalo abierto I\subseteq\mathbb R con 0\in I una solución de la ecuación diferencial con condición de valor inicial :

: \left\{\begin{align}
\phi_H(x,0)&=x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_H(x,t)&=X_H(\phi_H(x,t))
\end{align}\right..

Con la definición del campo vectorial hamiltoniano y la antisimetría de la forma simpléctica se sigue:

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}H(\phi_H(x,t))
=\mathrm dH(\phi_H(x,t))\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_H(x,t)\right)
=\omega(X_H(\phi_H(x,t)),-)\left(X_H(\phi_H(x,t))\right)
=\omega(X_H,X_H)(\phi_H(x,t))
=0,

por lo que H(\phi_H(x,t))
es constante. De manera más general, este cálculo se puede considerar para dos funciones de Hamilton diferentes G,H\in C^\infty(M), donde el corchete de Poisson \{G,H\}= \omega (X_G,X_H) de manera análoga resulta en:

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}G(\phi_H(x,t))
=\omega(X_G,X_H)(\phi_H(x,t))
=\{G,H\}(\phi_H(x,t)),

entonces G(\phi_H(x,t))
es constante si y sólo si \{G,H\}=0. Se trata de la ecuación de Liouville para la evolución del tiempo y el teorema de Noether sobre la correspondencia de cantidades conservadas y simetría.

== Enlaces web ==

* nlab:campo+vectorial+hamiltoniano|campo vectorial hamiltoniano en nLab (idioma inglés|inglés)

== Literatura ==

* *
== Pruebas individuales ==


Categoría: Topología simpléctica

More details: https://de.wikipedia.org/wiki/Hamiltonsches_Vektorfeld