En matemáticas, específicamente en geometría, '''Teorema de la cruz''', también conocido como '''Teorema de Vecten''', Igualdad (matemáticas) equipara el área de un triángulo con las áreas de los triángulos formados por cuadrados dibujados a lo largo de sus lados (borde (geometría).
== Teorema ==
Sea \triangle ABC un triángulo en el plano euclidiano (\mathbb{R}^2). Supongamos que los cuadrados DABE, FBCG y HCAI se dibujan en el exterior de un conjunto|fuera de \triangle ABC. Entonces las áreas de los cuatro triángulos \triangle ABC, \triangle AID, \triangle BEF y \triangle CGH son iguales.
== Pruebas ==
=== Prueba por rotación ===
Rotación|Rotar \triangle AID en un ángulo recto, de manera que D coincida con B, y sea este nuevo triángulo \triangle AI'B. Está claro que |AC|=|AI'|, y que C, A y I son colineales. Por lo tanto, las áreas de los triángulos \triangle ABC y \triangle AI'B son iguales. Dado que \triangle AI'B es simplemente una rotación de \triangle AID, se deduce que \triangle ABC y \triangle AID tienen la misma área. Argumentos similares prueban la igualdad de las cuatro áreas.
=== Prueba por fórmula para el área ===
Observe que \angle CAB y \angle DAI son ángulos suplementarios|suplementarios. Por lo tanto, tenemos
[DAI]
=\frac12|AD||AI|\sin(\angle DAI)
=\frac12|AB||AC|\sin(\angle CAB)
[ABC],
lo cual era deseado. Argumentos similares muestran que las cuatro áreas son iguales.
== Historia ==
El teorema de Cross lleva el nombre de David Cross, quien (de forma independiente) lo descubrió en 2004. Esta configuración también fue estudiada por Vecten y, en consecuencia, el teorema también puede llamarse Teorema de Vecten. Sin embargo, el Teorema de Vecten se refiere más comúnmente al teorema que establece la existencia de los puntos Vecten|Puntos Vecten de un triángulo
== Ver también ==
* Puntos Vecten – Puntos formados por centros cuadrados
* Teorema de Pitágoras|Teorema de Pitágoras – Teorema que relaciona longitudes en un triángulo rectángulo
[h4] En matemáticas, específicamente en geometría, '''Teorema de la cruz''', también conocido como '''Teorema de Vecten''', Igualdad (matemáticas) equipara el área de un triángulo con las áreas de los triángulos formados por cuadrados dibujados [url=viewtopic.php?t=8701]a lo largo de[/url] sus lados (borde (geometría).
== Teorema == Sea \triangle ABC un triángulo en el plano euclidiano (\mathbb{R}^2). Supongamos que los cuadrados DABE, FBCG y HCAI se dibujan en el exterior de un conjunto|fuera de \triangle ABC. Entonces las áreas de los cuatro triángulos \triangle ABC, \triangle AID, \triangle BEF y \triangle CGH son iguales. == Pruebas ==
=== Prueba por rotación === Rotación|Rotar \triangle AID en un ángulo recto, de manera que D coincida con B, y sea este nuevo triángulo \triangle AI'B. Está claro que |AC|=|AI'|, y que C, A y I son colineales. Por lo tanto, las áreas de los triángulos \triangle ABC y \triangle AI'B son iguales. Dado que \triangle AI'B es simplemente una rotación de \triangle AID, se deduce que \triangle ABC y \triangle AID tienen la misma área. Argumentos similares prueban la igualdad de las cuatro áreas.
=== Prueba por fórmula para el área === Observe que \angle CAB y \angle DAI son ángulos suplementarios|suplementarios. Por lo tanto, tenemos
[DAI]
=\frac12|AD||AI|\sin(\angle DAI)
=\frac12|AB||AC|\sin(\angle CAB)
[ABC],
lo cual era deseado. Argumentos similares muestran que las cuatro áreas son iguales.
== Historia == El teorema de Cross lleva el nombre de David Cross, quien (de forma independiente) lo descubrió en 2004. Esta configuración también fue estudiada por Vecten y, en consecuencia, el teorema también puede llamarse Teorema de Vecten. Sin embargo, el Teorema de Vecten se refiere más comúnmente al teorema que establece la existencia de los puntos Vecten|Puntos Vecten de un triángulo == Ver también ==
* Puntos Vecten – Puntos formados por centros cuadrados * Teorema de Pitágoras|Teorema de Pitágoras – Teorema que relaciona longitudes en un triángulo rectángulo [/h4]
More details: [url]https://en.wikipedia.org/wiki/Cross%27s_Theorem[/url]
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