En geometría, un arco de asa de cesta es una curva plana dibujada por un número impar de arcos circulares, utilizada en arquitectura y especialmente en puentes. Así, un arco caribeño define una bóveda cuyo intradós (la línea inferior de la bóveda vista en sección transversal) forma tal curva.
Su forma es similar a la de una elipse, que tiene una variación continua de curvatura desde su origen hasta su vértice, es decir, desde los extremos del eje mayor hasta el vértice del eje corto.
== Historia ==
Desde la época romana, las bóvedas (Bóveda (arquitectura)) del puente se han construido con arcos completos, formando una media circunferencia completa. Desde la Alta Edad Media, el arco de medio punto, una media circunferencia incompleta, se utilizó para construir bóvedas de menos de la mitad de la altura de su vano
La ojiva, que en lugar de reducir el exceso de altura de las bóvedas lo acentúa (ya que el chapitel es mayor que la mitad del vano), no se utilizó en la construcción de puentes hasta la Edad Media.
El arco caribeño apareció a principios del Renacimiento, ofreciendo una innegable ventaja estética sobre la bóveda de arco de medio punto: el hecho de que sus arcos extremos son verticalmente tangentes a los apoyos.
El Pont Neuf, Toulouse|Pont-Neuf en Toulouse en el siglo XVI y el Pont Royal en el siglo siguiente
En el siglo XVIII, el uso de calas era común, a menudo en tres centros: los puentes de Vizille, Lavaur, Puente de Gignac|Gignac
Jean-Rodolphe Perronet diseñó los arcos de los puentes de Mantes (1757-1765), Nogent (1766-1769) y Neuilly (1766-1774) y Neuilly-sur-Seine (1766-1774) con once centros en la segunda mitad del siglo XVIII. También hubo once centros en Tours (1764-1777). Los demás se redujeron a 1/3 o un poco más, excepto Neuilly-sur-Seine|Neuilly, que se redujo a 1/4.
En el siglo XIX, los primeros puentes ferroviarios importantes (Transporte ferroviario francés) eran arcos en forma de cesta: el puente Cinq-Mars (1846-1847), el puente Port-de-Piles (1846-1848), los puentes Morandière: Montlouis (1843-1845). ), Plessis-les-Tours (1855-1857).
En Inglaterra, mientras que el Puente de Gloucester (1826-1827)
En la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX se conservan algunos arcos de canasto:
* Con tres centros * Con cinco centros: Puente Aníbal (1868-1870) * Con siete centros * Con diecinueve centros
== Comparación entre arco de asa de cesta y elipse ==
=== Estética ===
Los arquitectos antiguos concedían cierta importancia a los procesos utilizados para definir el contorno del arco caribeño. Es fácil comprender que estos procesos pueden variar hasta el infinito, pero precisamente debido a este tipo de elasticidad (Elasticidad (física)), los arquitectos a menudo han preferido la curva así trazada a la elipse, cuyo contorno está determinado geométricamente
En el caso de una elipse, dada la apertura de una bóveda y la altura en el centro, es decir, los ejes mayor y menor, todos los puntos de la curva intradós son fijos, sin que el arquitecto pueda cambiar nada. a voluntad. La curva multicentro, en cambio, puede ser más o menos redondeada en la base y más o menos aplanada en la parte superior, dependiendo de la disposición de los centros, dejando cierta medida al gusto del arquitecto.
=== Ventajas y desventajas ===
Las ventajas en términos de diseño eran innegables: el diseño de las ranuras a escala natural se consideró más fácil y preciso, y el diseño de las normales y, por tanto, de las juntas de los segmentos, se pudo realizar inmediatamente en el lugar
El número de dovelas estaba limitado al número de radios diferentes, mientras que para la elipse era igual a la mitad del número de dovelas más uno.
Sin embargo, la discontinuidad del trazado provocó la aparición de antiestéticas dovelas, que no siempre pudieron eliminarse durante los trabajos de restauración.
== Trazando curvas con tres centros ==
=== El óvalo antiguo ===
Aunque el arco de manija de cesta no se usó para bóvedas de puentes en tiempos antiguos (Historia antigua), a veces se usó en la construcción de otras bóvedas. Y Herón de Alejandría (Héroe de Alejandría) (que escribió sus tratados matemáticos más de un siglo antes de nuestra era) ya había definido un método simple para rastrearlo
Si AB es el ancho de la bóveda a construir, siendo indeterminada su altura (o alzado, o chapitel), describimos sobre AB una media circunferencia, y por el punto C de ésta, tomado sobre la vertical OC, trazamos la tangente mn, en la que tomamos las longitudes Cm y Cn iguales a la mitad del radio. Uniendo mO y nO determinamos los puntos D y E, a través de los cuales trazamos el triángulo isósceles DOE, cuya base es igual a la altura. Una vez hecho esto, tomamos la recta DA, la dividimos en cuatro partes iguales y trazamos paralelas a DO por los puntos de división a, b, c. Los puntos donde estos paralelos intersectan el eje horizontal AB y el eje vertical extendido CO dan los centros que necesitamos para trazar varias curvas con 3 centros en AB, como se muestra en la figura. Estas curvas son lo que solemos llamar el óvalo antiguo.
Desde que el arco caribeño se ha utilizado ampliamente en la construcción de puentes, los procedimientos propuestos para su trazado se han multiplicado y el número de centros ha aumentado. La siguiente es una breve descripción de los procedimientos más utilizados
El objetivo era crear curvas perfectamente continuas con un contorno elegante. Debido a la naturaleza indeterminada del problema, se impusieron arbitrariamente ciertas condiciones bajo el supuesto de que conducirían de manera más confiable al resultado deseado.
A veces, por ejemplo, se aceptaba que los diversos arcos de un círculo que componen la curva debían corresponder a ángulos iguales en el centro; a veces se suponía que estos arcos parciales tenían la misma longitud; o bien se dejaba variar la amplitud de los ángulos o la longitud de los rayos sucesivos según determinadas proporciones.
Además, siempre se ha aceptado que se debe mantener una cierta relación entre el descenso del arco y el número de centros utilizados para trazar la curva del intradós, de modo que el descenso se mide, tanto para el arco de cesta como para el arco circular, por la relación entre la elevación y la abertura, es decir, por la relación b/2a, donde b es la elevación y 2a es el ancho del arco.
Esta proporción puede ser de un tercio, un cuarto, un quinto o menos, pero tan pronto como cae por debajo de un quinto, generalmente se debe preferir el arco circular al arco de asa de canasta o la elipse. Con una pendiente mayor, es una buena idea tener al menos cinco centros, y a veces hemos permitido hasta once, como en el caso de la curva del Puente Neuilly (Neuilly-sur-Seine), o incluso hasta diecinueve para el puente de Signac. Como uno de los centros siempre debe estar en el eje vertical, y los demás dispuestos simétricamente en números iguales a derecha e izquierda, el número total siempre es impar.
=== El método Huygens ===
Para curvas con tres centros, el siguiente procedimiento, según Huyghens, consiste en trazarlas haciendo corresponder arcos de diferentes radios a ángulos iguales, es decir, ángulos de 60
Teniendo AB como abertura y OE como flecha de la bóveda, desde el centro O, con OA como radio, describimos el arco AMF, del cual tomamos el arco AM, igual a un sexto de la circunferencia, y cuya cuerda es por tanto igual al radio OA. Dibuja esta cuerda AM y la cuerda MF, luego dibuja Em a través del punto E, el final del eje menor, paralelo a MF.
La intersección de AM y Em determina el límite m del primer arco. Trazando la recta mP paralela a MO que pasa por este punto m, los puntos n y P son los dos centros que estamos buscando. El tercer centro n está situado a una distancia n'O del eje OE igual a nO. Basta estudiar la figura para ver que los tres arcos de círculo Am, mEm', m'B que forman la curva corresponden a ángulos en los centros Anm, mPm' y m'n'B que son iguales entre sí. los demás y los tres de 60°.
=== El método Bossut ===
El siguiente método de Charles Bossut para trazar la misma curva de 3 centros es más rápido.
AB y OE son nuevamente la apertura y la flecha de la bóveda, es decir, el eje largo y el eje corto de la curva a trazar. Unimos AE y del punto E tomamos EF' igual a OA-OE, luego trazamos una perpendicular por el medio m de AF' y los puntos n y P, donde esta perpendicular se encuentra con el eje mayor y la prolongación del eje menor, son los dos centros que estamos buscando
Con la misma apertura y subida, la curva así trazada difiere muy poco de la anterior.
== Curvas con más de tres centros ==
Para las curvas con más de tres centros, los métodos indicados por Bérard, Jean-Rodolphe Perronet, Émiland Gauthey y otros consistieron, como para el puente Neuilly (Neuilly-sur-Seine), en proceder por prueba y error.
Trazando una primera curva aproximada según datos arbitrarios, cuyos elementos fueron luego rectificados, utilizando fórmulas más o menos determinadas, de modo que pasaran exactamente por los extremos de los ejes mayor y menor.
=== El método Michal ===
El Sr. Michal, en un artículo publicado en 1831, abordó la cuestión de manera más científica y preparó tablas que contenían los datos necesarios para dibujar curvas con 5, 7 y 9 centros, sin prueba ni error, y con perfecta precisión.
Su método de cálculo también se puede aplicar a curvas con cualquier número de centros.
Dado que las condiciones que deben cumplirse para que el problema deje de ser indefinido son en parte arbitrarias, Michal propone que las curvas se compongan a veces de arcos de círculo que subtienden ángulos iguales, a veces de arcos de igual longitud. Como esto no es suficiente para determinar todos los radios, también supone que los radios de cada arco son iguales a los radios de curvatura de la elipse descrita en el centro de estos arcos, con la apertura como eje mayor y el ascenso. como eje menor
A medida que aumenta el número de centros, la curva se acerca cada vez más a la elipse con la misma apertura y pendiente.
La siguiente tabla se refiere al dibujo del arco de canasto con igualdad de los ángulos subtendidos por las partes de los arcos que lo componen. Los valores proporcionales que da para los primeros radios se calculan tomando como unidad la semiabertura. El voladizo es la relación entre la flecha y toda la abertura.
Es fácil ver cómo se puede utilizar esta tabla para dibujar un arco con asa de canasta con cualquier abertura en cinco, siete o nueve centros sin realizar ninguna investigación. El único requisito es que la caída sea exactamente la prevista por el Sr. Michal.
Por ejemplo, digamos que necesitamos dibujar una curva con siete centros, una abertura de 12 metros y una pendiente de 3 metros, que corresponde a una caída de un cuarto o veinticinco centésimas. El primer y segundo radio son 6 x 0,265 y 6 x 0,419, o 1,594 y 2,514.
Si ABCD es el rectángulo en el que se va a inscribir la curva, describimos una media circunferencia sobre AB como diámetro, dividiéndola en siete partes iguales y trazando las cuerdas Aa, ab, bc, cd, correspondiendo esta última a una mitad -división.
En el eje AB, partiendo del punto A, tomamos una longitud igual a 1.590 m y tenemos como primer centro m1. Por este punto se traza un paralelo de radio Oa, y el punto n donde se encuentra con la cuerda Aa es el límite del primer arco. Del punto n tomamos una longitud nm2 igual a 2,514 m, siendo el punto m2 el segundo centro. Desde este punto m2 trazamos una paralela al radio Ob, desde el punto n una paralela a la cuerda ab, y el punto de intersección n' de estas dos paralelas es el límite del segundo arco. Luego, por el punto n', trazamos una paralela a la cuerda bc, y por el punto E, una paralela a la cuerda cd
Finalmente, en el punto de intersección n'' de estas dos rectas, se traza un paralelo al radio Oc, y a los puntos m3, m4 donde intersecta la extensión del radio n'm2 y el La extensión del eje vertical da los centros tercero y cuarto. Los últimos tres centros m5, m6 y m7 son simétricos con respecto a los primeros tres m1, m2 y m3
Como muestra la figura, los arcos An, nn', n'n'', etc. corresponden a ángulos centrales iguales y da 51° 34' 17" 14. Es más, si construyéramos una semielipse con AB y OE como ejes mayor y menor, los arcos de esta semielipse, contenidos dentro de los mismos ángulos que los arcos del círculo, tendrían un radio de curvatura en su centro igual al radio de la último.
Con este método se pueden construir curvas con cinco, siete y nueve centros con la misma facilidad.
=== El método Lerouge ===
Después del Sr. Michal, el tema fue retomado por el Sr. Lerouge, ingeniero jefe del
Sin embargo, sus cálculos se basan en la condición de que los radios sucesivos aumenten según una progresión aritmética, independientemente de la igualdad de los ángulos que forman entre ellos.
=== Bibliografía ===
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Arquitectura
Centros geométricos
Curvas
Geometría
Puentes
Puentes en arco
[h4] En geometría, un arco de asa de cesta es una curva plana dibujada por un número impar de arcos circulares, utilizada en arquitectura y especialmente en puentes. Así, un arco caribeño define una bóveda cuyo intradós (la línea inferior de la bóveda vista en sección transversal) forma tal curva.
Su forma es similar a la de una elipse, que tiene una variación continua de curvatura desde su origen hasta su vértice, es decir, desde los extremos del eje mayor hasta el vértice del eje corto.
== Historia == Desde la época romana, las bóvedas (Bóveda (arquitectura)) del puente se han construido con arcos completos, formando una media circunferencia completa. Desde la Alta Edad Media, el arco de medio punto, una media circunferencia incompleta, se utilizó [url=viewtopic.php?t=2398]para construir[/url] bóvedas de menos de la mitad de la altura de su vano La ojiva, que en lugar de reducir el exceso de altura de las bóvedas lo acentúa (ya que el chapitel es mayor que la mitad del vano), no se utilizó en la construcción de puentes hasta la Edad Media.
El arco caribeño apareció a principios del Renacimiento, ofreciendo una innegable ventaja estética sobre la bóveda de arco de medio punto: el hecho de que sus arcos extremos son verticalmente tangentes a los apoyos. El Pont Neuf, Toulouse|Pont-Neuf en Toulouse en el siglo XVI y el Pont Royal en el siglo siguiente En el siglo XVIII, el uso de calas era común, a menudo en tres centros: los puentes de Vizille, Lavaur, Puente de Gignac|Gignac Jean-Rodolphe Perronet diseñó los arcos de los puentes de Mantes (1757-1765), Nogent (1766-1769) y Neuilly (1766-1774) y Neuilly-sur-Seine (1766-1774) con once centros en la segunda mitad del siglo XVIII. También hubo once centros en Tours (1764-1777). Los demás se redujeron a 1/3 o un poco más, excepto Neuilly-sur-Seine|Neuilly, que se redujo a 1/4. En el siglo XIX, los primeros puentes ferroviarios importantes (Transporte ferroviario francés) eran arcos en forma de cesta: el puente Cinq-Mars (1846-1847), el puente Port-de-Piles (1846-1848), los puentes Morandière: Montlouis (1843-1845). ), Plessis-les-Tours (1855-1857).
En Inglaterra, mientras que el Puente de Gloucester (1826-1827) En la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX se conservan algunos arcos de canasto:
* Con tres centros * Con cinco centros: Puente Aníbal (1868-1870) * Con siete centros * Con diecinueve centros == Comparación entre arco de asa de cesta y elipse ==
=== Estética === Los arquitectos antiguos concedían cierta importancia a los procesos utilizados para definir el contorno del arco caribeño. Es fácil comprender que estos procesos pueden variar hasta el infinito, pero precisamente debido a este tipo de elasticidad (Elasticidad (física)), los arquitectos a menudo han preferido la curva así trazada a la elipse, cuyo contorno está determinado geométricamente En el caso de una elipse, dada la apertura de una bóveda y la altura en el centro, es decir, los ejes mayor y menor, todos los puntos de la curva intradós son fijos, sin que el arquitecto pueda cambiar nada. a voluntad. La curva multicentro, en cambio, puede ser más o menos redondeada en la base y más o menos aplanada en la parte superior, dependiendo de la disposición de los centros, dejando cierta medida al gusto del arquitecto.
=== Ventajas y desventajas === Las ventajas en términos de diseño eran innegables: el diseño de las ranuras a escala natural se consideró más fácil y preciso, y el diseño de las normales y, por tanto, de las juntas de los segmentos, se pudo realizar inmediatamente en el lugar El número de dovelas estaba limitado al número de radios diferentes, mientras que para la elipse era igual a la mitad del número de dovelas más uno.
Sin embargo, la discontinuidad del trazado provocó la aparición de antiestéticas dovelas, que no siempre pudieron eliminarse durante los trabajos de restauración.
== Trazando curvas con tres centros ==
=== El óvalo antiguo === Aunque el arco de manija de cesta no se usó para bóvedas de puentes en tiempos antiguos (Historia antigua), a veces se usó en la construcción de otras bóvedas. Y Herón de Alejandría (Héroe de Alejandría) (que escribió sus tratados matemáticos más de un siglo antes de nuestra era) ya había definido un método simple para rastrearlo Si AB es el ancho de la bóveda a construir, siendo indeterminada su altura (o alzado, o chapitel), describimos sobre AB una media circunferencia, y por el punto C de ésta, tomado sobre la vertical OC, trazamos la tangente mn, en la que tomamos las longitudes Cm y Cn iguales a la mitad del radio. Uniendo mO y nO determinamos los puntos D y E, a través de los cuales trazamos el triángulo isósceles DOE, cuya base es igual a la altura. Una vez hecho esto, tomamos la recta DA, la dividimos en cuatro partes iguales y trazamos paralelas a DO por los puntos de división a, b, c. Los puntos donde estos paralelos intersectan el eje horizontal AB y el eje vertical extendido CO dan los centros que necesitamos para trazar varias curvas con 3 centros en AB, como se muestra en la figura. Estas curvas son lo que solemos llamar el óvalo antiguo. Desde que el arco caribeño se ha utilizado ampliamente en la construcción de puentes, los procedimientos propuestos para su trazado se han multiplicado y el número de centros ha aumentado. La siguiente es una breve descripción de los procedimientos más utilizados El objetivo era crear curvas perfectamente continuas con un contorno elegante. Debido a la naturaleza indeterminada del problema, se impusieron arbitrariamente ciertas condiciones bajo el supuesto de que conducirían de manera más confiable al resultado deseado.
A veces, por ejemplo, se aceptaba que los diversos arcos de un círculo que componen la curva debían corresponder a ángulos iguales en el centro; a veces se suponía que estos arcos parciales tenían la misma longitud; o bien se dejaba variar la amplitud de los ángulos o la longitud de los rayos sucesivos según determinadas proporciones.
Además, siempre se ha aceptado que se debe mantener una cierta relación entre el descenso del arco y el número de centros utilizados para trazar la curva del intradós, de modo que el descenso se mide, tanto para el arco de cesta como para el arco circular, por la relación entre la elevación y la abertura, es decir, por la relación b/2a, donde b es la elevación y 2a es el ancho del arco.
Esta proporción puede ser de un tercio, un cuarto, un quinto o menos, pero tan pronto como cae por debajo de un quinto, generalmente se debe preferir el arco circular al arco de asa de canasta o la elipse. Con una pendiente mayor, es una buena idea tener al menos cinco centros, y a veces hemos permitido hasta once, como en el caso de la curva del Puente Neuilly (Neuilly-sur-Seine), o incluso hasta diecinueve para el puente de Signac. Como uno de los centros siempre debe estar en el eje vertical, y los demás dispuestos simétricamente en números iguales a derecha e izquierda, el número total siempre es impar.
=== El método Huygens === Para curvas con tres centros, el siguiente procedimiento, según Huyghens, consiste en trazarlas haciendo corresponder arcos de diferentes radios a ángulos iguales, es decir, ángulos de 60 Teniendo AB como abertura y OE como flecha de la bóveda, desde el centro O, con OA como radio, describimos el arco AMF, del cual tomamos el arco AM, igual a un sexto de la circunferencia, y cuya cuerda es por tanto igual al radio OA. Dibuja esta cuerda AM y la cuerda MF, luego dibuja Em a través del punto E, el final del eje menor, paralelo a MF.
La intersección de AM y Em determina el límite m del primer arco. Trazando la recta mP paralela a MO que pasa por este punto m, los puntos n y P son los dos centros que estamos buscando. El tercer centro n está situado a una distancia n'O del eje OE igual a nO. Basta estudiar la figura para ver que los tres arcos de círculo Am, mEm', m'B que forman la curva corresponden a ángulos en los centros Anm, mPm' y m'n'B que son iguales entre sí. los demás y los tres de 60°.
=== El método Bossut === El siguiente método de Charles Bossut para trazar la misma curva de 3 centros es más rápido.
AB y OE son nuevamente la apertura y la flecha de la bóveda, es decir, el eje largo y el eje corto de la curva a trazar. Unimos AE y del punto E tomamos EF' igual a OA-OE, luego trazamos una perpendicular por el medio m de AF' y los puntos n y P, donde esta perpendicular se encuentra con el eje mayor y la prolongación del eje menor, son los dos centros que estamos buscando Con la misma apertura y subida, la curva así trazada difiere muy poco de la anterior.
== Curvas con más de tres centros == Para las curvas con más de tres centros, los métodos indicados por Bérard, Jean-Rodolphe Perronet, Émiland Gauthey y otros consistieron, como para el puente Neuilly (Neuilly-sur-Seine), en proceder por prueba y error.
Trazando una primera curva aproximada según datos arbitrarios, cuyos elementos fueron luego rectificados, utilizando fórmulas más o menos determinadas, de modo que pasaran exactamente por los extremos de los ejes mayor y menor.
=== El método Michal === El Sr. Michal, en un artículo publicado en 1831, abordó la cuestión de manera más científica y preparó tablas que contenían los datos necesarios para dibujar curvas con 5, 7 y 9 centros, sin prueba ni error, y con perfecta precisión.
Su método de cálculo también se puede aplicar a curvas con cualquier número de centros.
Dado que las condiciones que deben cumplirse para que el problema deje de ser indefinido son en parte arbitrarias, Michal propone que las curvas se compongan a veces de arcos de círculo que subtienden ángulos iguales, a veces de arcos de igual longitud. Como esto no es suficiente para determinar todos los radios, también supone que los radios de cada arco son iguales a los radios de curvatura de la elipse descrita en el centro de estos arcos, con la apertura como eje mayor y el ascenso. como eje menor A medida que aumenta el número de centros, la curva se acerca cada vez más a la elipse con la misma apertura y pendiente.
La siguiente tabla se refiere al dibujo del arco de canasto con igualdad de los ángulos subtendidos por las partes de los arcos que lo componen. Los valores proporcionales que da para los primeros radios se calculan tomando como unidad la semiabertura. El voladizo es la relación entre la flecha y toda la abertura. Es fácil ver cómo se puede utilizar esta tabla para dibujar un arco con asa de canasta con cualquier abertura en cinco, siete o nueve centros sin realizar ninguna investigación. El único requisito es que la caída sea exactamente la prevista por el Sr. Michal.
Por ejemplo, digamos que necesitamos dibujar una curva con siete centros, una abertura de 12 metros y una pendiente de 3 metros, que corresponde a una caída de un cuarto o veinticinco centésimas. El primer y segundo radio son 6 x 0,265 y 6 x 0,419, o 1,594 y 2,514.
Si ABCD es el rectángulo en el que se va a inscribir la curva, describimos una media circunferencia sobre AB como diámetro, dividiéndola en siete partes iguales y trazando las cuerdas Aa, ab, bc, cd, correspondiendo esta última a una mitad -división.
En el eje AB, partiendo del punto A, tomamos una longitud igual a 1.590 m y tenemos como primer centro m1. Por este punto se traza un paralelo de radio Oa, y el punto n donde se encuentra con la cuerda Aa es el límite del primer arco. Del punto n tomamos una longitud nm2 igual a 2,514 m, siendo el punto m2 el segundo centro. Desde este punto m2 trazamos una paralela al radio Ob, desde el punto n una paralela a la cuerda ab, y el punto de intersección n' de estas dos paralelas es el límite del segundo arco. Luego, por el punto n', trazamos una paralela a la cuerda bc, y por el punto E, una paralela a la cuerda cd Finalmente, en el punto de intersección n'' de estas dos rectas, se traza un paralelo al radio Oc, y a los puntos m3, m4 donde intersecta la extensión del radio n'm2 y el La extensión del eje vertical da los centros tercero y cuarto. Los últimos tres centros m5, m6 y m7 son simétricos con respecto a los primeros tres m1, m2 y m3 Como muestra la figura, los arcos An, nn', n'n'', etc. corresponden a ángulos centrales iguales y da 51° 34' 17" 14. Es más, si construyéramos una semielipse con AB y OE como ejes mayor y menor, los arcos de esta semielipse, contenidos dentro de los mismos ángulos que los arcos del círculo, tendrían un radio de curvatura en su centro igual al radio de la último.
Con este método se pueden construir curvas con cinco, siete y nueve centros con la misma facilidad.
=== El método Lerouge === Después del Sr. Michal, el tema fue retomado por el Sr. Lerouge, ingeniero jefe del Sin embargo, sus cálculos se basan en la condición de que los radios sucesivos aumenten según una progresión aritmética, independientemente de la igualdad de los ángulos que forman entre ellos.
=== Bibliografía ===
* * * * * * * * * Arquitectura Centros geométricos Curvas Geometría Puentes Puentes en arco [/h4]
More details: [url]https://en.wikipedia.org/wiki/Basket-handle_arch[/url]
'''Houji''' ( |url =
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